Характеристика (алгебра)

В математиці, характеристикою кільця $R$ , позначається $char R$ , називається найменше ціле додатне $n$ , для якого виконується:

\underset{n доданків}{\underset{⏟}{1 + \dots + 1}} = 0

Тобто сума $n$ мультиплікативних нейтральних елементів кільця дорівнює адитивному нейтральному елементу кільця.

Якщо такого $n$ не існує, тоді $R$ називається кільцем характеристики $0$ .

Приклади

Характеристики кільця цілих чисел $ℤ$ , поля раціональних чисел $ℚ$ , поля дійсних чисел $ℝ$ , поля комплексних чисел $ℂ$ рівні нулю.
Характеристика кільця лишків $ℤ / n ℤ$ рівна $n$ .
Характеристика скінченного поля $𝔽_{p^{m}}$ , де $p$ — просте число, $m$ — додатне ціле число, рівна $p$ .

Якщо кільце $R \neq {0}$ з одиницею і без дільників нуля має додатну характеристику $n$ , то $n$ — просте число. Отже, характеристика будь-якого поля $K$ є або $0$ , або просте число $p$ . У першому випадку поле $K$ містить як підполе поле ізоморфне полю раціональних чисел $ℚ$ , у другому випадку поле $K$ містить як підполе поле ізоморфне $𝔽_{p}$ . У обох випадках це підполе називається простим полем (що міститься в $K$ ).
Характеристикою скінченного поля є просте число. Натомість з того, що характеристика поля є ненульовою, не випливає, що поле є скінченним. Прикладами таких полів є поле раціональних функцій над $𝔽_{p}$ і замикання, алгебри поля $𝔽_{p}$ .
Якщо $R$ — комутативне кільце простої характеристики $p$ , то $(a + b)^{p^{n}} = a^{p^{n}} + b^{p^{n}}$ для всіх $a, b \in R$ , $n \in ℕ$ .

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.