Коалгебра

Коалгебра — математична структура, яка є двоїстою до асоціативної алгебри з одиницею. Аксіоми унітарної асоціативної алгебри можуть бути сформульовані в термінах комутативних діаграм. Аксіоми коалгебри одержуються за допомогою обертання стрілок. Кожна коалгебра через двоїстість векторних просторів породжує алгебру, але не завжди навпаки. У скінченновимірному випадку двоїстість є в обох напрямках.

Означення

Коалгебра над полем Шаблон:Mvar — це векторний простір Шаблон:Mvar над Шаблон:Mvar разом з [[лінійне відображення|Шаблон:Mvar — лінійними відображеннями]] $\mathrm{\Delta }:C\to C{\otimes }_{K}C$ і $ϵ:C\to K$, такими що

1. $({\mathrm{i}\mathrm{d}}_C\otimes \mathrm{\Delta })\circ \mathrm{\Delta }=(\mathrm{\Delta }\otimes {\mathrm{i}\mathrm{d}}_C)\circ \mathrm{\Delta }$
2. $({\mathrm{i}\mathrm{d}}_C\otimes ϵ)\circ \mathrm{\Delta }={\mathrm{i}\mathrm{d}}_C=(ϵ\otimes {\mathrm{i}\mathrm{d}}_C)\circ \mathrm{\Delta }$.

(Тут $\otimes$ і ${\otimes }_K$ позначає тензорний добуток над Шаблон:Mvar.)

Еквівалентно, наступні дві діаграми комутують:

На першій діаграмі ми ототожнюємо $C\otimes (C\otimes C)$ з $(C\otimes C)\otimes C$ як два природно ізоморфних простори. Аналогічно, на другій діаграмі ототожнені природно ізоморфні простори $C$, $C\otimes K$ і $K\otimes C$.

Перша діаграма двоїста діаграмі, що виражає асоціативність операції множення алгебри (і називається коасоціативністю комноження); друга діаграма двоїста діаграмі, що виражає існування мультиплікативного нейтрального елемента. Відповідно, відображення Шаблон:Math називається комноженням (або кодобутком) в Шаблон:Mvar, а Шаблон:Mvar є коодиницею Шаблон:Mvar.

Приклад

Розглянемо деяку множину Шаблон:Mvar і векторний простір над Шаблон:Mvar з базисом Шаблон:Mvar. Елементами цього векторного простору є такі функції з Шаблон:Mvar в Шаблон:Mvar, які відображають всі елементи Шаблон:Mvar, крім скінченної кількості в нуль; ототожнимо елемент Шаблон:Mvar з Шаблон:Mvar з функцією, яка відображає Шаблон:Mvar в 1 і всі інші елементи Шаблон:Mvar в 0. Позначимо цей простір як Шаблон:Mvar. Визначимо

$\mathrm{\Delta }(s)=s\otimes s\text{and}ϵ(s)=1\mathrm{\forall }s\in S.$

Шаблон:Math і Шаблон:Mvar можуть бути єдиним чином продовжені на все Шаблон:Mvar по лінійності. Векторний простір Шаблон:Mvar стає коалгеброю з комноженням Шаблон:Math і коодиницею Шаблон:Mvar (перевірка цього є хорошим способом, щоб звикнути до використання аксіом коалгебри).

Скінченновимірний випадок

У скінченновимірному випадку, двоїстість між алгеброю і коалгеброю є більш тісною: об'єкт, двоїстий до скінченновимірної (унітарної асоціативної) алгебри є коалгеброю, а двоїстий до скінченновимірної коалгебри є (унітарною асоціативною) алгеброю. Взагалі кажучи, об'єкт, двоїстий до довільної алгебри, може не бути коалгеброю.

Це випливає з того, що, для скінченновимірних просторів, Шаблон:Math і Шаблон:Math є ізоморфними. Якщо A є скінченновимірною асоціативною K-алгеброю з одиницею, тоді її K-спряжений простір A^∗, елементами якого є K-лінійні функції з A в K є коалгеброю. Множення в A є лінійним відображенням Шаблон:Nowrap, яке породжує лінійне відображення спряжених просторів Шаблон:Nowrap. Через ізоморфність, Шаблон:Nowrap і Шаблон:Nowrap в скінченновимірному випадку, це відображення задає комноження на A^∗. Коодиницею A^∗ є відображення, що оцінює значення лінійних функцій у 1.

Загалом алгебра і коалгебра — двоїсті поняття (аксіоми, що визначають одну, одержуються із аксіом іншої за допомогою обертання стрілок), тоді як для скінченновимірних просторів вони є ще і двоїстими об'єктами.

Див. також

• Алгебра над кільцем
• Алгебра над полем

Література

• Шаблон:Cite book. Chapter III, section 11.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.