Загальна лінійна група

Шаблон:Теорія груп Загальна лінійна група — в математиці група всіх оборотних квадратних матриць над деяким кільцем.

Формальне визначення

Загальною лінійною групою порядку $n$ називається четвірка $(U_n(R),\cdot ,{}^{-1},I)$, де:

• $R$ є асоціативним кільцем з одиницею,
• $U_n(R)$ — оборотні матриці порядку $n$ над даним кільцем,
• Груповою операцією є множення матриць,
• Зворотним елементом є обернена матриця,
• Одиничним елементом є одинична матриця.

Будь-яка підгрупа загальної лінійної групи називається лінійною групою.

Векторні простори

Якщо $V$ — векторний простір над полем $F$, то загальною лінійною групою лінійного простру $\mathrm{GL}(V)$ або $\mathrm{Aut}(V)$ називається група всіх автоморфізмів $V$, тобто множина всіх бієктивних лінійних відображень $V\to V$ де груповою операцією є композиція відображень .

Якщо простір V має скінченну розмірність $\dim V=n$, то $\mathrm{GL}(V)$ і $\mathrm{GL}(n,K)$ ізоморфні. Однак, ізоморфізм не є канонічним, оскільки він залежить від вибору базисів $V$. Якщо $(e_1,\dots ,e_n)$ — базис, і автоморфізмів $\mathrm{GL}(V)$, маємо

$T{e}_k=\sum _{j=1}^n{a}_{jk}{e}_j$

для деяких констант $a_{jk}\in K$. Матриця, відповідна $T$ має елементами $a_{jk}$.

Визначники

Матриця є оборотна над полем $F$, якщо і тільки якщо її визначник відмінний від нуля. Таким чином, $\mathrm{GL}(n,K)$ може бути визначена як група матриць з ненульовим визначником. Для кільця $R$ маємо: матриця над $R$ є оборотною тоді і тільки тоді, коли її визначник є оборотним елементом в $R$. Отже, $\mathrm{GL}(n,R)$ може бути визначена як група матриць з оборотними визначниками.

Спеціальна лінійна група

Шаблон:Falseredirect Спеціальною лінійною групою порядку $n$ над полем F називається лінійна група, що містить всі квадратні матриці порядку $n$ з елементами поля $K$, визначник яких дорівнює одиниці. Спеціальна лінійна група позначається $\mathrm{SL}(n,K)$.

Примітки

• Ці матриці утворюють групу, так як визначник добутку двох матриць дорівнює добутку їх визначників, і тому множина даних матриць замкнута відносно множення.
• Спеціальну лінійну групу $\mathrm{SL}(n,K)$ можна охарактеризувати як групу лінійних перетворень, що зберігають об'єм і напрям .

Скінченні поля

Якщо $K$ є скінченним полем з $q$ елементами, іноді використовується запис $\mathrm{GL}(n,q)$.

Порядок

Порядок групи $\mathrm{GL}(n,K)$

$|\mathrm{GL}(n,K)|=\prod _{i=0}^{n-1}(q^n-q^i)$.

Для прикладу, порядок $\mathrm{(}GL)(3,2)$ рівний (8 — 1) (8 — 2) (8 — 4) = 168. Це група автоморфізмів площини Фано, і групи $\mathbb{(}Z{)}_2^3$

Аналогічні формули для $\mathrm{SL}(n,K)$:

$|\mathrm{SL}(n,K)|=\frac{1}{q-1}\prod _{i=0}^{n-1}(q^n-q^i)$.

Властивості

• Якщо $n⩾2,$ то група $\mathrm{GL}(n,K)$ не є абелевою.
• $\mathrm{SL}(n,K)$ є нормальною підгрупою $\mathrm{GL}(n,K).$
• Нехай $K^{*}$ буде мультиплікативною групою поля K, тоді визначник є гомоморфізмом груп:

  $\det :\mathrm{GL}(n,K)\to K^{*}$.

• $\mathrm{GL}(n,K)$ є напівпрямим добутком $\mathrm{SL}(n,K)⋊K^{*}$

Пов'язані групи

Проективна група

Проективна група $\mathrm{PGL}(n,K)$ і проектні спеціальні лінійні групи $\mathrm{PSL}(n,K)$ є факторгрупами $\mathrm{GL}(n,K)$ і $\mathrm{SL}(n,K)$ відносно скалярних матриць.

Афінна група

Афінна група $\mathrm{Aff}(n,K)$ — розширення $\mathrm{GL}(n,F)$ за допомогою групи перенесень. Її можна записати за допомогою напівпрямого добутку:

$\mathrm{Aff}(n,K)=\mathrm{GL}(n,K)⋉K^n$. Афінна група може також розглядатися як групи всіх афінних перетворень афінного простору.

Див. також

• Залишково скінченна група

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Книга
• Baker A. Matrix groups, an introduction to Lie groups Springer, 2002 ISBN 1852334703