Афінний простір

Афінним простором над полем $𝕂$ називається трійка (A, L, +) що складається з векторного простору L над полем $𝕂$, множини A, елементи якої називаються точками, та зовнішньої бінарної операції A × L → A: $(a,l)\mapsto a+l$, що задовольняє таким аксіомам:

1. (a + l) + m = a + (l + m), для всіх a ∈ A; l, m ∈ L;
2. a + 0 = a, для всіх a ∈ A;
3. для двох довільних точок a, b ∈ A існує єдиний вектор l ∈ L, такий, що b = a + l.

Неформальний опис

Початки координат згідно з уявленнями Аліси і Боба. Обчислення вектора з точки зору Аліси червоне, а з точки зору Боба синє.

Наступне пояснення може бути зрозумілішим ніж формальне означення: афінний простір це те, що залишилось від векторного простору після того як ми забули де його початок координат. Уявімо, що Аліса знає, що певна точка це справжній початок координат, але Боб вірить, інша точка, нехай це буде Шаблон:Math, — це початок координат. Нам треба додати два вектори Шаблон:Math і Шаблон:Math. Боб накреслює стрілку з точки Шаблон:Math до точки Шаблон:Math і ще одну стрілку від Шаблон:Math до точки Шаблон:Math і завершує паралелограм, щоб знайти те, щовін думає буде Шаблон:Math, але Аліса знає, що насправді він обчислив

Шаблон:Math.

Подібним чином, Аліса і Боб можуть обчислити будь-яку лінійну комбінацію Шаблон:Math і Шаблон:Math або будь-якої скінченної множини векторів і зазвичай матимуть відмінні відповіді. Однак, якщо сума коефіцієнтів у лінійній комбінації 1, тоді Аліса і Боб отримають ту саму відповідь.

Якщо Аліса прямує до

Шаблон:Math

тоді Боб може так само дістатись до

Шаблон:Math.

За умови, що всі коефіцієнти в сумі дають 1, Аліса і Боб описують ту саму точку за допомогою однакової лінійної комбінації, всупереч використанню різних початків координат.

Хоча лише Аліса знає «лінійну будову», обидва вони знають «афінну будову», тобто значення афінних комбінацій. Множина з афінною будовою це афінний простір.

Пов'язані визначення

Можливо розглядати довільні лінійні комбінації точок афінного простору.Шаблон:Fact

Однак результат набуває сенсу в таких випадках:Шаблон:Fact

• комбінація — барицентрична (тобто сума її коефіцієнтів дорівнює 1), і тоді вона буде точкою з $A$;
• комбінація — сбалансована (тобто сума її коефіцієнтів дорівнює 0), і тоді вона буде вектором з $V$.

Аналогічно до поняття лінійної незалежності векторів вводять поняття афінної незалежності точок афінного простору. А саме, точки $P_0,P_1,\dots ,P_n$ називають афінно залежними, якщо яку-небудь з них, скажімо, $P_0$, можна преставити у вигляді барицентричної комбінації решти точок. У протилежному випадку ці точки називають афінно незалежними.Шаблон:Fact

Див. також

• Пряма
• Площина
• Евклідів простір

Джерела

• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра