Розширення групи

Шаблон:Теорія груп Розши́рення гру́пи — група, що містить задану групу як нормальну підгрупу. У задачі розширення зазвичай задано нормальну підгрупу $N$ і факторгрупу $Q$, і шукається розширення $G\supset N$ таке, що $G/N\cong Q$, або, що еквівалентно, така $G$ що існує коротка точна послідовність:

$1\to N\to G\to Q\to 1$.

У цьому випадку кажуть, що $G$ є розширенням $Q$ за допомогою $N$ (іноді використовується інше формулювання: група $G$ є розширенням $N$ за допомогою $Q$Шаблон:Sfn).

Розширення називають центральним розширенням, якщо підгрупа $N$ лежить у центрі групи $G$.

Приклади

Групи ${\mathbb{Z}}_4$ так само як ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2$ є розширеннями ${\mathbb{Z}}_2$ за допомогою ${\mathbb{Z}}_2$.

Очевидне розширення — прямий добуток: якщо $G=K\times H$, то $G$ є як розширенням $H$, так і $K$. Якщо $G$ є напівпрямим добутком груп $K$ і $H$ ($G=K⋊H$), то $G$ є розширенням $H$ за допомогою $K$.

Шаблон:Не перекладено дають інші приклади розширень.

Властивості

Якщо вимагати, щоб $G$ і $Q$ були абелевими групами, то множина класів ізоморфізмів розширення групи $Q$ за допомогою заданої (абелевої) групи $N$, фактично, є групою, яка ізоморфна:

${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1(Q,N)$

(функтор Ext). Деякі інші загальні класи розширень відомі, але немає теорії, яка розглядає всі можливі розширення одночасно, у цьому сенсі задача розширення групи зазвичай вважається складною.

Оскільки будь-яка скінченна група $G$ має максимальну нормальну підгрупу $N$ із простою фактор-групою $G/N$, усі скінченні групи можна побудувати як композиційні ряди $\{A_i\}$ де кожна група $A_{i+1}$ є розширенням $A_i$ за допомогою деякої простої групи. Цей факт став одним із важливих стимулів для розв'язання задачі класифікації простих скінченних груп.

Класифікація розширень

Розв'язання задачі розширення означає класифікацію всіх розширень групи $H$ за допомогою $K$, або, конкретніше, вираження всіх таких розширень у термінах математичних об'єктів, які в якомусь сенсі простіші (легко обчислювані або добре вивчені). У загальному випадку ця задача дуже складна, і всі найкорисніші результати класифікують розширення, які задовольняють деяким додатковим умовам.

Для задачі класифікації важливим поняттям є еквівалентність розширень; кажуть, що розширення:

$1\to K\stackrel{i}{\to }G\stackrel{\pi }{\to }H\to 1$

і

$1\to K\stackrel{i^{\prime }}{\to }{G}^{\prime }\stackrel{{\pi }^{\prime }}{\to }H\to 1$

еквівалентні (або конгруентні), якщо існує ізоморфізм групи $T:G\to G^{\prime }$, що робить комутативною діаграму:

Фактично, достатньо мати групу гомоморфізмів. Внаслідок передбачуваної комутативності діаграми відображення обов'язково буде ізоморфізмом за Шаблон:Не перекладено.

Може статися, що розширення $1\to K\to G\to H\to 1$ і $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ не еквівалентні, але $G$ і $G^{\prime }$ ізоморфні як групи. Наприклад, є $8$ нееквівалентних розширень 4-групи Кляйна за допомогою $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$Шаблон:Sfn але існують, з точністю до ізоморфізму, тільки чотири групи порядку 8, що містять нормальну підгрупу порядку $2$ з фактор-групою, ізоморфною 4-групі Кляйна.

Тривіальні розширення

Тривіальне розширення — це розширення:

$1\to K\to G\to H\to 1$,

яке еквівалентне розширенню:

$1\to K\to K\times H\to H\to 1$,

де ліва і права стрілки є відповідно включенням та проєкцією кожного множника $K\times H$.

Класифікації розщеплюваних розширень

Розщеплюване розширення — це розширення:

$1\to K\to G\to H\to 1$

з гомоморфізмом $s:H\to G$, таким що перехід від $H$ до $G$ за допомогою $s$, а потім назад до $H$ за фактор-відображенням короткої точної послідовності породжує тотожне відображення на $H$, тобто $\pi \circ s={\mathrm{i}\mathrm{d}}_H$. У цій ситуації зазвичай кажуть, що $s$ розщеплює згадану вище точну послідовність.

Розщеплювані розширення дуже легко класифікувати, оскільки розширення розщеплюване тоді й лише тоді, коли група $G$ є напівпрямим добутком $K$ і $H$. Самі напівпрямі добутки легко класифікувати, оскільки вони взаємно однозначно відповідають гомоморфізмам $H\to \mathrm{Aut}(K)$, де $\mathrm{Aut}(K)$ є групою автоморфізмів $K$.

Центральне розширення

Центральне розширення групи $G$ є короткою точною послідовністю груп

$1\to A\to E\to G\to 1$

такою, що $A$ лежить у $Z(E)$ (центрі групи $E$). Множина класів ізоморфізмів центральних розширень групи $G$ за допомогою $A$ (де $G$ діє тривіально на $A$) є взаємно-однозначною відповідністю з групою когомологій $H^2(G,A)$.

Приклади центральних розширень можна побудувати, взявши будь-яку групу $G$ та будь-яку абелеву групу $A$, вважаючи $E$ рівним $A\times G$. Цей вид розщеплюваного прикладу, (розщеплюване розширення в сенсі задачі розширення, оскільки $G$ є підгрупою $E$) не становить особливого інтересу, оскільки він відповідає елементу $0$ в $H^2(G,A)$ згідно зі згаданою вище відповідністю. Серйозніші приклади знайдено в теорії Шаблон:Не перекладено у випадках, коли проєктивні представлення неможливо підняти до звичайних лінійних представлень.

У разі скінченних досконалих груп є Шаблон:Не перекладено.

Аналогічно, центральне розширення алгебри Лі $𝔤$ є точною послідовністю

$0\to 𝔞\to 𝔢\to 𝔤\to 0,$

такою що $𝔞$ міститься в центрі $𝔢$.

Існує загальна теорія центральних розширень у многовидах Мальцева Шаблон:Sfn.

Групи Лі

У теорії груп Лі центральні розширення виникають у зв'язку з алгебричною топологією. Грубо кажучи, центральні розширення груп Лі за допомогою дискретних груп це те саме, що Шаблон:Не перекладено. Точніше, зв'язний накривний простір $G^{\ast }$ зв'язної групи Лі $G$ є природним центральним розширенням групи $G$, при цьому проєкція

$\pi :G^{*}\to G$

є групою гомоморфізмів та сюр'єктивна. (Структура групи на $G^{\star }$ залежить від вибору відображення тотожного елемента в тотожний елемент $G$.) Наприклад, коли $G^{\star }$ є універсальним накриттям групи $G$, ядро $\pi$ є фундаментальною групою групи $G$, яке, як відомо, абелеве (H-простір). І навпаки, якщо дано групу Лі $G$ та дискретну центральну підгрупу $Z$, факторгрупа $G/Z$ є групою Лі, а $G$ є її накривним простором.

Загальніше, якщо групи $A$, $E$ і $G$ в центральному розширенні є групами Лі та відображення між ними є гомоморфізмами групи Лі, то, якщо алгеброю Лі групи $G$ є $𝔤$, алгеброю $A$ є $𝔞$, а алгеброю $E$ є $𝔢$, то $𝔢$ є Шаблон:Не перекладено $𝔤$ за допомогою $𝐚$. У термінології теоретичної фізики генератори алгебри $𝔞$ називають Шаблон:Не перекладено. Ці генератори лежать у центрі алгебри $𝔢$. За теоремою Нетер генератори груп симетрії відповідають величинам, що зберігаються. Їх називають зарядами.

Основні приклади центральних розширень як накривних груп:

• спінорні групи, які двічі накривають спеціальні ортогональні групи, які (в парній розмірності) двічі накривають Шаблон:Не перекладено;
• Шаблон:Не перекладено, які двічі накривають симплектичні групи.

Випадок $S{L}_2(𝐑)$ залучає фундаментальну групу, яка є нескінченною циклічною групою; тут центральне розширення добре відоме з теорії модулярних форм для випадку форм з вагою $\frac{1}{2}$. Відповідне проєктивне представлення є Шаблон:Не перекладено, побудованим з перетворення Фур'є, у цьому разі, на дійсній осі. Метаплектичні групи з'являються також у квантовій механіці.

Див. також

• Шаблон:Не перекладено
• Шаблон:Не перекладено
• Шаблон:Не перекладено
• Шаблон:Не перекладено
• Шаблон:Не перекладено

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Cite webШаблон:Бібліоінформація