Напівпрямий добуток

Шаблон:Теорія груп Напівпрямий добуток — конструкція в теорії груп, що дозволяє будувати нову групу за двома групами $H$ і $N$, і дією $\varphi$ групи $H$ в просторі групи $N$, що зберігає її групову структуру.

Напівпрямий добуток груп $N$ і $H$ над $\varphi$ звичайно позначається $N{⋊}_{\varphi }H$.

Конструкція

Нехай задана дія групи $H$ на просторі групи $N$ із збереженням її групової структури. Це означає, що задано гомоморфізм $\varphi :H\to \text{Aut}(N)$ групи $H$ в групу автоморфізмів групи $N$. Автоморфізм групи $N$, що відповідає елементу $h$ із $H$ при гомоморфізмі $\varphi$ позначимо ${\varphi }_h$. Як група $G$ — напівпрямий добуток груп $H$ і $N$ над гомоморфізмом $\varphi$ — береться множина $N\times H$ з бінарної операцією $*$, яка діє за правилом:

$(n_1,h_1)*(n_2,h_2)=(n_1{\varphi }_{h_1}(n_2),h_1{h}_2)$ для довільних $n_1,n_2\in N$, $h_1,h_2\in H$.

Властивості

1. Групи $H$ і $N$ природно вкладені в $G$, причому $N$ — нормальна підгрупа в $G$.
2. Кожен елемент $g\in G$ однозначно розкладемо у добуток $g=nh$, де $h$ і $n$ — елементи груп $H$ і $N$ відповідно. (Ця властивість виправдовує назву групи $G$ як напівпрямого добутку груп $H$ і $N$.)
3. Задана дія $\varphi$ груп $H$ на групі $N$ збігається з дією $H$ на $N$ спряженнями (в групі $G$).

Будь-яка група з властивостями 1-3 ізоморфна групі $G$ (властивість універсальності напівпрямогу добутку груп).

Приклад

Група ${\mathbb{Z}}_4$ діє на ${\mathbb{Z}}_5$ (розглядається як адитивна група відповідного кільця) чотирма різними способами:

${\varphi }_h(n)=a^{h}n$, де $a$ — фіксований ненульовий елемент ${\mathbb{Z}}_5$, $h\in {\mathbb{Z}}_4$, $n\in {\mathbb{Z}}_5$.

Відповідно, на множині ${\mathbb{Z}}_5\times {\mathbb{Z}}_4$ можна ввести 4 структури групи — напівпрямого добутку:

1. $(n_1,h_1)*(n_2,h_2)=(n_1+n_2,h_1+h_2)$
2. $(n_1,h_1)*(n_2,h_2)=(n_1+(-1{)}^{h_1}{n}_2,h_1+h_2)$
3. $(n_1,h_1)*(n_2,h_2)=(n_1+2^{h_1}{n}_2,h_1+h_2)$
4. $(n_1,h_1)*(n_2,h_2)=(n_1+3^{h_1}{n}_2,h_1+h_2)$

Можна показати, що останні дві групи ізоморфні, а решта — ні, а також, що ці приклади перераховують всі групи порядку 20, що містять елемент порядку 4 (при цьому використовуються теореми Силова).

Подібним чином напівпрямі добутки груп використовуються для класифікації скінченних груп.

Див. також

• Прямий добуток груп

Джерела

Українською

• Шаблон:Ref-uk Шаблон:Книга

Іншими мовами

• Шаблон:Курош.Теорія груп
• Шаблон:Винберг.Курс алгебры
• Шаблон:Rotman.An Introduction to the Theory of Groups