Порядок групи

Шаблон:Теорія груп Порядок групи — потужність носія групи, тобто, для скінченних груп — кількість елементів групи. Позначається $|G|$ або $𝐎𝐫𝐝\mathbf{(}𝐆\mathbf{)}$.

Для скінченних груп зв'язок між порядком групи та її підгрупи встановлює теорема Лагранжа: порядок групи $G$ дорівнює порядку будь-якої її підгрупи $H\subseteq G$, помноженому на її індекс — кількість її лівих чи правих класів суміжності:

$|G|=|H|\cdot [G:H]$.

Важливим результатом про порядки груп є рівняння класу, що пов'язує порядок скінченної групи $G$ з порядком її центра $\mathrm{Z}(G)$ і розмірами її нетривіальних класів спряженості:

$|G|=|Z(G)|+\sum _i{d}_i$,

де $d_i$ — розміри нетривіальних класів спряженості. Наприклад, центр симетричної групи $S_3$ — просто тривіальна група з одного нейтрального елемента $e$, і рівняння перетворюється на $|S_3|=1+2+3$.

Порядок елементів скінченних груп ділить її груповий порядок. З теоретико-групової теореми Коші випливає, що порядок групи $G$ є степенем цілого простого числа $p$ тоді й лише тоді, коли порядок будь-якого з її елементів є деяким степенем $p$.

Література

• Шаблон:Ref-uk Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга