Модулярна форма

Модулярна форма — голоморфна функція визначена на верхній комплексній півплощині (тобто множині $ℍ=\{x+iy|y>0;x,y\in ℝ\}$), що є інваріантною щодо перетворень модулярної групи чи деякої її підгрупи і задовольняє умові голоморфності в параболічних точках. Модулярні форми і модулярні функції широко використовуються в теорії чисел, а також в алгебраїчній топології і теорії струн.

Визначення

Допоміжні визначення

Нехай $\gamma =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in S{L}_2(𝐙)$ — квадратна матриця порядку 2 з цілочисельними елементами і визначником рівним одиниці. Для деякого $z\in ℍ$ визначимо функцію $\gamma z=\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)$. Також позначимо:

$\mathrm{\Gamma }(N)=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in S{L}_2(𝐙):a\equiv 1,b\equiv 0,c\equiv 0,d\equiv 1,(\mathrm{mod}N)\}.$

Дані групи називаються головними конгруентними підгрупами рівня N. Також використовується позначення $\mathrm{\Gamma }(1)=S{L}_2(𝐙)$. Довільна група $\mathrm{\Gamma }:\mathrm{\Gamma }(N)\subseteq \mathrm{\Gamma }\subseteq \mathrm{\Gamma }(1)$ називається конгруентною. Нехай $\gamma \in \mathrm{\Gamma }$ — деякий елемент конгруентної групи. Якщо $\mathrm{Tr}(\gamma )=\pm 2$ (де $\mathrm{Tr}(\cdot )$ — слід матриці) то цей елемент називається параболічним, а відповідне перетворення параболічним. Точка $s\in ℝ\cup \mathrm{\infty }$ називається параболічною, якщо існує параболічний елемент $\gamma \in \mathrm{\Gamma },\gamma \ne I,-I$, такий що $\gamma s=s$.

Модулярна форма

Нехай $\mathrm{\Gamma }$ — деяка конгруентна група. Функція f визначена на $ℍ$ називається модулярною формою степеня (ваги) k для групи $\mathrm{\Gamma }$, якщо виконуються умови:

1. $f(\gamma z)=(cz+d{)}^{k}f(z),\mathrm{\forall }\gamma =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{\Gamma }$;
2. $f(z)$ — голоморфна в $ℍ$;
3. $f(z)$ голоморфна в параболічних точках групи $\mathrm{\Gamma }$.

Модулярна функція

Нехай $\mathrm{\Gamma }$ — деяка конгруентна група. Функція f визначена на $ℍ$ називається модулярною функцією для групи $\mathrm{\Gamma }$, якщо виконуються умови:

1. $f(z)$ є інваріантною щодо дії групи $\mathrm{\Gamma }$, тобто $f(\gamma z)=f(z),\mathrm{\forall }\gamma =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{\Gamma }$;
2. $f(z)$ — мероморфна в $ℍ$;
3. $f(z)$ — мероморфна в параболічних точках групи $\mathrm{\Gamma }$.

Випадок групи $\mathrm{\Gamma }(1)$

Модулярна група $\mathrm{\Gamma }(1)/\{I,-I\}$ породжується двома матрицями $T=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ і $S=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$. Тож для перевірки виконання перших умов визначень модулярних функцій і форм достатньо перевірити виконання умов $f(z)=f(z+1)$ і $f(-1/z)=z^{k}f(z)$. Параболічними точками даної групи є точки $\mathbb{Q}\cup \{\mathrm{\infty }\}$ і всі вони є еквівалентними, тобто $\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{Q}\cup \mathrm{\infty }$ існує такий $\gamma \in \mathrm{\Gamma }(1)$, що $\gamma a=b$. Тож достатньо перевірити голоморфність чи мероморфність лише в одній з цих точок. Найзручніше для цього взяти $\{\mathrm{\infty }\}$. Завдяки властивості $f(z)=f(z+1)$ функція f(z) може бути записана через ряд Фур'є через $q=\exp (2\pi iz)$.

Оскільки $\exp$ на всій комплексній площині не рівний нулю то також $q\ne 0$ але, $\exp (w)\to 0$ коли $w\to -\mathrm{\infty }$ (по від'ємній дійсній осі), отже $q\to 0$ коли $2\pi iz\to -\mathrm{\infty }$, тобто коли $z\to i\mathrm{\infty }$ (по додатній уявній осі).

Функція є мероморфною в безмежності якщо:

$f(z)=\sum _{n=-m}^{\mathrm{\infty }}{c}_n\exp (2\pi inz)=\sum _{n=-m}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{q}^n.$

на всьому відкритому одиничному крузі. Коефіцієнти $c_n$ — коефіцієнти Фур'є функції $f$, Якщо $c_n=0$ при $n<0$ на всьому відкритому одиничному крузі то функція є голоморфною в безмежності.

Пояснення

Для $\mathrm{\Gamma }=\mathrm{\Gamma }(1)$ модулярну форму можна також означити, як однорідну голоморфну функцію F на множині ґраток в $ℂ$. Тут ґратка - це підгрупа $\mathrm{\Lambda }\cong {\mathbb{Z}}^2$ в $(ℂ,+)$, породжена двома числами ${\omega }_1$, ${\omega }_2$, які утворюють базу $ℂ$ над $ℝ$. Однорідність F означає, що існує ціле $k\ge 0$, таке, що $F(\lambda \mathrm{\Lambda })={\lambda }^{-k}F(\mathrm{\Lambda })$ для всіх $\lambda \in {ℂ}^{\times }$ і всіх ґраток $\mathrm{\Lambda }$. Досить обмежитись парною вагою k, інакше $F\equiv 0$. За допомогою гомотетії $\lambda \cdot -$ можна зробити, щоб ${\omega }_2=1$, а ${\omega }_1\in ℍ=\{\tau \in ℂ\mid \mathrm{I}\mathrm{m}\tau >0\}$ було параметром ґратки. Функція $f:ℍ\to ℂ$, $f(\tau )=F(\mathbb{Z}.\tau +\mathbb{Z}.1)$ має автоморфну властивість, еквівалентну однорідності F. Голоморфність F означає голоморфність f і поліноміальну обмеженість росту f поблизу межі $ℍ$. З обмеженості випливає, що $f(x+iy)=O(1)$ при $y\to \mathrm{\infty }$ і $f(x+iy)=O(y^{-k})$ при $y\to 0$.

Загальний випадок

Якщо $\mathrm{\Gamma }$ — деяка підгрупа зі скінченним індексом групи $\mathrm{\Gamma }(1)$, то множина параболічних точок теж рівна $\mathbb{Q}\cup \{\mathrm{\infty }\}$, але в цьому випадку вони можуть не бути еквівалентними, тож умови голоморфності і мероморфності слід перевіряти окремо для кожного класу еквівалентності. Для точки $\{\mathrm{\infty }\}$ стабілізатор породжується деякою матрицею $T^M=\left(\begin{array}{cc}1& M\\ 0& 1\end{array}\right)$. Оскільки f(z) інваріантна відносно $T^M$, то $f(z)=f(z+M)$. Тому якщо визначити $q=\exp \left(\frac{2\pi iz}{M}\right)$ то можна дати ознаки мероморфності і голоморфності подібні до попередніх.

функція є мероморфною в безмежності якщо:

$f(z)=\sum _{n=-m}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{q}^n.$

на всьому відкритому одиничному крузі. Коефіцієнти $c_n$ — коефіцієнти Фур'є функції $f$, Якщо $c_n=0$ при $n<0$ на всьому відкритому одиничному крузі то функція є голоморфною в безмежності.

Якщо точка $\tau \in \mathbb{Q}$ не є еквівалентна безмежності в групі $\mathrm{\Gamma }$, тоді можна знайти такий $\gamma \in \mathrm{\Gamma }(1)$, що $\tau =\gamma (\mathrm{\infty })$. Тоді функція $F(z)=f(\gamma z)$ є інваріантною щодо групи $\gamma \mathrm{\Gamma }{\gamma }^{-1}\subset \mathrm{\Gamma }(1)$. Тоді $f(z)$ буде голоморфною (мероморфною) в точці $\tau \in \mathbb{Q}$, якщо $F(z)$ буде голоморфною (мероморфною) в безмежності.

Для $\mathrm{\Gamma }=\mathrm{\Gamma }(N)$ говоримо про модулярні форми рівня N. Модулярні форми ваги k і рівня $\mathrm{\Gamma }$ утворюють скінченновимірний простір $M_k(\mathrm{\Gamma })$ (нульовий при $k<0$) і градуйована алгебра $M_{*}(\mathrm{\Gamma })={\oplus }_{k\ge 0}{M}_k(\mathrm{\Gamma })$ скінченнопороджена над $ℂ$. Наприклад, $M_k(\mathrm{\Gamma }(1))=0$ для непарних k, а для парних k $\dim M_k(\mathrm{\Gamma }(1))=[k/12]$ при $k\equiv 2(\mathrm{mod}12)$ і $\dim M_k(\mathrm{\Gamma }(1))=[k/12]+1$ інакше. Більш загально, якщо $\mathrm{\Gamma }$ - дискретна підгрупа $\mathrm{S}\mathrm{L}(2,ℝ)$, і $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }ℍ$ має скінченний гіперболічний об'єм V (стосовно 2-форми $y^{-2}dxdy$), то $\dim M_k(\mathrm{\Gamma })\le kV/(4\pi )+1$ для всіх $k\ge 0$. Зокрема, для підгрупи, що містить -1, $\mathrm{\Gamma }\subset \mathrm{\Gamma }(1)$, скінченного індексу r, $\dim M_k(\mathrm{\Gamma })\le [kr/12]+1$.

Приклади

• Одними з найпростіших прикладів модулярних форм є ряди Ейзенштейна ваги $k$, що визначаються для парного $k>2$:

$G_k(\tau )=\frac{1}{2}\sum _{(m,n)\in {\mathbb{Z}}^2\mathrm{\setminus }(0,0)}\frac{1}{(m+n\tau {)}^k}.$

де $\tau \in ℍ$.

• Нехай

$g_2=60\sum _{(m,n)\ne (0,0)}(m+n\tau {)}^{-4},g_3=140\sum _{(m,n)\ne (0,0)}(m+n\tau {)}^{-6}$ — модулярні інваріанти, $\mathrm{\Delta }=g_2^3-27g_3^2$ — модулярний дискримінант.

Визначимо також:

$j(\tau )=1728\frac{g_2^3}{\mathrm{\Delta }}$ — основний модулярний інваріант (j-інваріант).

Виконуються рівності:

$g_2(\tau +1)=g_2(\tau ),g_2(-{\tau }^{-1})={\tau }^4{g}_2(\tau )$

$\mathrm{\Delta }(\tau +1)=\mathrm{\Delta }(\tau ),\mathrm{\Delta }(-{\tau }^{-1})={\tau }^{12}\mathrm{\Delta }(\tau )$

Також дані функції задовольняють відповідні властивості голоморфності. Тобто $g_2$ — модулярна форма ваги 4, $\mathrm{\Delta }$ — модулярна форма ваги 12. Відповідно $g_2^3$ — модулярна форма ваги 12, а $j(z)$ — модулярна функція. Дані функції мають важливе застосування в теорії еліптичних функцій і еліптичних кривих.

Пояснення

При дії групи $\mathrm{S}\mathrm{L}(2,ℝ)$ з вагою $k>0$ на голоморфних функціях $ℍ\to ℂ$, $f\mapsto f{|}_k\gamma$, $\gamma =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{S}\mathrm{L}(2,ℝ)$,

$(f{|}_k\gamma )(\tau )=(c\tau +d{)}^{-k}f\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right),$

стабілізатор точки 1 (постійної функції) при парному k - це матриці з $c=0$, $a=d=\pm 1$. При дії $\mathrm{\Gamma }(1)=\mathrm{S}\mathrm{L}(2,\mathbb{Z})$ цей стабілізатор є ${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\infty }}=\{\pm \left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)\mid n\in \mathbb{Z}\}$. Множина класів суміжності ${\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\setminus }\mathrm{\Gamma }(1)$ перебуває в бієкції з $\{(c,d)\in {\mathbb{Z}}^2\mid$нсд$(c,d)=1\}/(\pm 1)$. Ряд Айзенштайна

$E_k(\tau )=\sum _{\gamma \in {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\setminus }\mathrm{\Gamma }(1)}1{|}_k\gamma =\frac{1}{2}\sum _{c,d\in \mathbb{Z}}^{(c,d)=1}\frac{1}{(c\tau +d{)}^k}$

абсолютно збігається при $k>2$ і є нерухомою точкою дії $\mathrm{S}\mathrm{L}(2,\mathbb{Z})$, тобто модулярною формою ваги k рівня 1. Комутативне кільце $M_{*}(\mathrm{\Gamma }(1))=ℂ[E_4,E_6]$.

Безпосередньо однорідну функцію від ґратки можна написати як $G_k(\mathrm{\Lambda })=(1/2)\sum _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }\mathrm{\setminus }0}{\lambda }^{-k}$, $k>2$. Звуження її на ґратки $\mathrm{\Lambda }=\mathbb{Z}.\tau +\mathbb{Z}.1$, $\tau \in ℍ$, дає модулярну форму ваги k рівня 1

$G_k(\tau )=\frac{1}{2}\sum _{m,n\in \mathbb{Z}}^{(m,n)\ne (0,0)}\frac{1}{(m\tau +n{)}^k},$

втім, $G_k(\tau )=\zeta (k)E_k(\tau )$. Використовуючи ще одну нормалізацію ${𝔾}_k(\tau )=(k-1)!(2\pi i{)}^{-k}{G}_k(\tau )$, знаходимо розвинення її в ряд Фур'є від $q=e^{2\pi i\tau }$: ${𝔾}_k(\tau )=-B_k/(2k)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_{k-1}(n)q^n$, де $B_k$ — число Бернуллі і ${\sigma }_{k-1}(n)=\sum _{d|n}{d}^{k-1}$.

Квадратичні форми

Нехай $\theta (\tau )=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\exp (\pi i{n}^2\tau )$ — тета-функція Якобі, $\tau \in ℍ$. Тоді ${\theta }^2$ — модулярна форма ваги 1 рівня 4. З одновимірності певного простору модулярних форм випливає, що число представлень цілого $n>0$ як суми квадратів двох цілих чисел є $4\sum _{d|n,d>0}^{(d,2)=1}(-1{)}^{(d-1)/2}$. З того, що ${\theta }^4$ - модулярна форма ваги 2 рівня 4 виводиться: число представлень цілого $n>0$ як суми квадратів чотирьох цілих чисел є $8\sum _{d|n,d>0}^{d\equiv ̸0(\mathrm{mod}4)}d$. Узагальнюючи, розглянемо додатно визначену квадратичну форму $Q:{\mathbb{Z}}^m\to \mathbb{Z}$, $Q(x)=x^{t}Ax/2$, де $A\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(m,\mathbb{Z})$ - симетрична додатно визначена матриця з парними діагональними елементами. З нею асоціюється тета-ряд

${\mathrm{\Theta }}_Q(\tau )=\sum _{x_1,\dots ,x_m\in \mathbb{Z}}{q}^{Q(x_1,\dots ,x_m)}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{R}_Q(n)q^n,$

де $q=e^{2\pi i\tau }$ і $R_Q(n)=\mathrm{\#}\{x\in {\mathbb{Z}}^m\mid Q(x)=n\}$. Нехай N — найменше додатне ціле, таке, що $N{A}^{-1}\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(m,\mathbb{Z})$ має парні діагональні елементи. Тоді для $m=2k$, $k\in {\mathbb{Z}}_{>0}$, функція ${\mathrm{\Theta }}_Q$ є модулярною формою ваги k рівня N. Зокрема, для $\det A=1$, ${\mathrm{\Theta }}_Q$ є модулярною формою ваги k рівня 1. Наприклад, це вірно для ґратки $E_8$ ($m=8$) або ґратки Лича ($m=24$).

Оператори Геке

На просторі модулярних форм ваги k рівня 1 діє оператор Геке $T_m$, $m\ge 1$. Він переводить однорідну функцію F степеня -k від ґратки $\mathrm{\Lambda }\subset ℂ$ в суму $T_{m}F(\mathrm{\Lambda })=m^{k-1}\sum F({\mathrm{\Lambda }}^{\prime })$, де ${\mathrm{\Lambda }}^{\prime }\subset \mathrm{\Lambda }$ пробігає підґратки індексу m. Константа нормалізації вибрана так, щоби ряди з цілими коефіцієнтами Фур'є переходили в такі ж. Скінченна множина ґраток ${\mathrm{\Lambda }}^{\prime }\subset \mathrm{\Lambda }$ індексу m ототожнюється з множиною $\mathrm{\Gamma }(1)\mathrm{\setminus }{ℳ}_m$, де ${ℳ}_m\subset \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(2,\mathbb{Z})$ - множина матриць $\gamma =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ з визначником m. Тому

$T_{m}f(\tau )=m^{k-1}\sum _{\gamma \in \mathrm{\Gamma }(1)\mathrm{\setminus }{ℳ}_m}(c\tau +d{)}^{-k}f\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right).$

За представників класів суміжності можна обрати цілочисельні матриці $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& d\end{array}\right)$ з $ad=m$, $0\le b<d$. Тому

$T_{m}f(\tau )=m^{k-1}\sum _{ad=m}^{d>0}{d}^{-k}\sum _{b(\mathrm{mod}d)}f((a\tau +b)/d).$

Всі оператори $T_m$ комутують і є нормальними відносно скалярного добутку Петерсона, тож $M_k(\mathrm{\Gamma }(1))$ має базу спільних власних векторів (Геке). Ці вектори f можна нормалізувати умовою $a_1=1$ для $f=\sum _{n\ge 0}{a}_n{q}^n$ і нормалізований власний базис є єдиним. Прикладами нормалізованих власних функцій слугують $\mathrm{\Delta }$ і ${𝔾}_k$, $k\ge 4$. З кожною модулярною формою $f=\sum _{n\ge 0}{a}_n{q}^n$ ваги k пов'язується ряд Діріхле $L(f,s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{n}^{-s}$. Якщо f - нормалізована власна функція Геке, то

$L(f,s)=\prod 1/(1-a_p{p}^{-s}+p^{k-1-2s}),$

де p пробігає прості числа. Для довільної модулярної форми f з $a_0=0$ ряд Діріхле продовжується до цілої функції від s і задовольняє функціональному рівнянню $L^{*}(f,k-s)=(-1{)}^{k/2}{L}^{*}(f,s)$, де $L^{*}(f,s)=(2\pi {)}^{-s}\mathrm{\Gamma }(s)L(f,s)$ - теж ціла функція.

Застосування

З гіпотези Шимури — Таніями — Вейля, доведеної Вайлсом, Тейлором, Брейлем, Конрадом, Даймондом наприкінці двадцятого століття (кожна еліптична крива над $\mathbb{Q}$ може бути параметризована модулярними функціями) випливає (Рібет) велика теорема Ферма: для $n>2$ не існує додатних цілих a, b, c з $a^n+b^n=c^n$.

Посилання

• J. S. Milne, Modular functions and modular forms, курс лекцій.
• D. Zagier, Elliptic modular forms and their applications, The 1-2-3 of modular forms, Universitext, Springer, Berlin, 2008, pp. 1-103.

Література

• Сарнак П. Модулярные формы и их приложения, М: ФАЗИС, 1998. ISBN 5-70364029-4
• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
• Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X
• D. Mumford, Tata lectures on theta. I, Progress in Mathematics, vol. 28, Birkhäuser Boston, MA, 1983.
• Ю.И. Манин, А.А. Панчишкин, Введение в современную теорию чисел, Москва, МЦНМО, 2009.
• Енциклопедія Сучасної України