Мероморфна функція

Гамма-функція мероморфна на всій комплексній площині

У комплексному аналізі меромо́рфною фу́нкцією (від Шаблон:Lang-el — дріб, Шаблон:Lang-el — вид) на підмножині $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ називається функція, що є голоморфною, на множині $\mathrm{\Omega }$, за винятком деякої множини особливих точок $\{a_1,a_2,\dots \}$, яка не має граничних точок і в кожній з яких функція має полюс (тобто $\underset{z\to a_i}{\lim }|f(z)|=\mathrm{\infty }$ для всіх $a_i$). Оскільки множина особливих точок не має граничних точок, вона є не більш, ніж зліченною.

Будь-яку мероморфну функцію на підмножині $\mathrm{\Omega }$ можна задати як частку між двома голоморфними функціями (зі знаменником не рівним нулю) визначених на $\mathrm{\Omega }$. Отже, мероморфна функція — це відношення двох голоморфних функцій. Така функція буде голоморфною, окрім точок, де знаменник дробу обертається в нуль і значення функції прямує до нескінченності.

З алгебраїчної точки зору, якщо множина $\mathrm{\Omega }$ зв'язна, тоді множина мероморфних функцій є полем часток множини голоморфних функцій на $\mathrm{\Omega }$, яка є областю цілісності . Аналогічно встановлюється залежність між множиною $\mathbb{Q}$ раціональних та $\mathbb{Z}$ цілих чисел.

Відповідно мероморфною функцією на всій комплексній площині є частка будь-яких двох цілих функцій, тобто частки сум двох степеневих рядів, які збігаються у будь-якій точці.

Приклади

• Всі раціональні функції такі як

$f(z)=\frac{z^3-2z+10}{z^5+3z-1},$

є мероморфними на всій комплексній площині

• Функції $f(z)=\frac{e^z}{z},f(z)=\frac{\sin z}{(z-1{)}^2}$ і дзета-функція Рімана є мероморфними функціями на всій комплексній площині із скінченною кількістю особливих точок. Функція $f(z)=\frac{1}{\sin z}$ і гамма-функція є мероморфними на всій комплексній площині із нескінченною множиною полюсів.
• Функція $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$ визначена на всій комплексній площині за винятком точки 0. Проте 0 не є полюсом цієї функції і вона не є мероморфною на всій комплексній площині. Звичайно вона є навіть голоморфною у області $ℂ\setminus \{0\}$.
• Логарифмічна функція $f(z)=\ln (z)$ не є мероморфною на всій комплексній площині, оскільки її неможливо однозначно визначити на всій комплексній площині за винятком деякої множини ізольованих точок.
• Функція $f(z)=\frac{1}{\sin \left(\frac{1}{z}\right)}$ не є мероморфною на всій комплексній площині, оскільки точка $z=0$ є граничною точкою полюсів функції. Функція $f(z)=\sin \frac{1}{z}$ теж не є мероморфною оскільки її особлива точка $z=0$ не є полюсом.
• Важливим класом мероморфних функцій є еліптичні функції.

Мероморфні функції на Ріманових поверхнях

Зважаючи на те, що кожна точка ріманової поверхні має окіл, який є гомеоморфним деякій відкритій підмножині комплексної площини, то поняття мероморфної функції є визначеним і на ріманових поверхнях.

На некомпактних ріманових поверхнях мероморфні функції теж є полем часток кільця голоморфних функцій. Для сфери Рімана множина мероморфних функцій рівна множині раціональних функцій. Вона, зрозуміло, не є полем часток голоморфних функцій на сфері Рімана, оскільки всі голоморфні функції є константами.

Будь-яка мероморфна функція $f\in M(\mathrm{\Omega })$ задає неперервне відображення $f$ області $\mathrm{\Omega }$ у сферу Рімана $ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$, яке є голоморфним відображенням відносно стандартної комплексної структури $ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}=ℂP^1$.

Навпаки, довільне голоморфне відображення $\overline{f}:\mathrm{\Omega }\to ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$, задає мероморфну функцію $f$ на $\mathrm{\Omega }$. Множина полюсів $f$ визначена як прообраз ${\overline{f}}^{-1}(\mathrm{\infty })$, а для інших точок у $\mathrm{\Omega }$ функція $f$ задається рівністю $f(z)=\overline{f}(z).$

Властивості

• Якщо задана дискретна підмножина $\{a_1,a_2,\dots \}$ (скінченна або зліченна) області $\mathrm{\Omega }$ і в кожній точці $a_i$ — головна частина розкладу Лорана $g_i(z)=\sum _{j=1}^{p_i}\frac{c_{-j}^{(i)}}{(z-a_i{)}^j},$ тоді згідно теореми Міттаг-Лефлера існує мероморфна функція для якої множина $\{a_1,a_2,\dots \}$ є множиною полюсів і в кожному полюсі $a_i$ головна частина розкладу в ряд Лорана рівна $g_i(z).$ Теорема Міттаг-Лефлера справедлива також для некомпактних ріманових поверхонь. На компактній рімановій поверхні (наприклад, на торі) потрібні додаткові умови узгодження головних частин.
• Пов'язаною є задача знаходжень мероморфних функцій з заданими разом з кратностями нулями і полюсами. Якщо задані дві дискретні підмножини $\{a_1,a_2,\dots \}$ і $\{b_1,b_2,\dots \}$ разом із відповідними множинами натуральних чисел $n_i$ і $m_j$ то існує мероморфна функція з нулями кратностей $n_i$ в точках в $a_i$ і полюсами кратностей $m_j$ в точках $b_j.$ Дане твердження є наслідком теореми Вейєрштраса про цілі функції.

Див. також

• Голоморфна функція
• Раціональна функція
• Сфера Рімана
• Теорема Міттаг-Лефлера

Джерела

• Серж Ленг (1999), «Комплексний аналіз» (4 видання), Берлін, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98592-3