Поле часток

В абстрактній алгебрі поле часток області цілісності A — найменше поле, що містить A як підкільце. Побудова поля часток узагальнює побудову множини раціональних чисел з множини цілих чисел.

Побудова

Нехай A — область цілісності. На множині E = A × A\{0} задається відношення еквівалентності:

• Якщо (a , b) і (c , d) — елементи множини E, то (a , b) ~ (c , d) тоді і тільки тоді, коли ad = bc.

Визначивши додавання і множення на елементах E наступним чином

• Для (a , b) і (c , d), що належать E , (a , b) + (c , d) = (ad + bc , bd)
• Для (a , b) і (c , d), що належать E, (a , b) · (c , d) = (ac , bd)

Дані операції можна задати також і на класах еквівалентності визначеного відношення.

Клас еквівалентності елемента (a , b) найчастіше позначається $\frac{a}{b}$, дані класи називаються частками або дробами.

Ці класи еквівалентності з визначеними операціями задовольняють властивості :

• Скорочення дробу : для ненульового c , $\frac{ca}{cb}=\frac{a}{b}$ ;
• комутативність і асоціативність операцій ;
• існування нульового елемента $\frac{0}{x}$ для додавання:

$\frac{a}{b}+\frac{0}{x}=\frac{ax}{bx}=\frac{a}{b}$

• існування одиниці $\frac{x}{x}$ при множенні:

$\frac{a}{b}\times \frac{c}{c}=\frac{ac}{bc}=\frac{a}{b}$

• існування елемента $\frac{-a}{b}$ — оберненого при додаванні до $\frac{a}{b}$ ;

$\frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=\frac{0}{b^2}$

• існування елемента $\frac{b}{a}$ оберненого при множенні до $\frac{a}{b}$ ;

$\frac{a}{b}\times \frac{b}{a}=\frac{ab}{ab}$

• Дистрибутивність множення відносно додавання :

$\frac{a}{b}\frac{e}{f}+\frac{c}{d}\frac{e}{f}=\frac{aedf+cebf}{bfdf}=\frac{(ad+cb)e}{bdf}=(\frac{a}{b}+\frac{c}{d})\frac{e}{f}$

Отже класи еквівалентності на множині E = A × A\{0} разом з визначеними операціями додавання і множення утворюють поле. Дане поле і називається полем часток. Елементам $a\in A$ області цілісності відповідають елементи $\frac{a}{1}$ поля часток, тобто існує природне вкладення A в дане поле.

Приклади

• Полем часток для кільця $\mathbb{Z}$ цілих чисел є поле $\mathbb{Q}$ раціональних чисел .
• Нехай $R:=a+bi|a,b\in \mathbb{Z}$ — кільце гаусових цілих чисел. Тоді $Quot(R)=c+di|c,d\in \mathbb{Q}$ — поле гаусових раціональних чисел.
• Поле часток для поля ізоморфне даному полю.
• Для поля K, полем часток многочленів однієї змінної K[X], є поле раціональних функцій K(X).

Див. також

• Повне кільце часток

Література

• Шаблон:Ван.дер.Варден.Алгебра
• Шаблон:Зарисский.Самюэль.Коммутативная алгебра.том1
• Шаблон:Ленг.Алгебра