Ряди Ейзенштейна

Ряди Ейзенштейна, названі на честь німецького математика Фердинанда Ейзенштейна — спеціальні прості приклади модулярних форм, що задаються як сума явно виписаного ряду. Спочатку визначені для модулярної групи, ряди Ейзенштейна можуть бути узагальнені в теорії автоморфних форм.

Означення

Ряд Ейзенштейна $G_{2k}$ ваги $2k$ — функція, визначена на верхній комплексній півплощині $\{Im(\tau )>0\}\subset ℂ$ і задана як сума ряду

$G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\ne (0,0)}\frac{1}{(m+n\tau {)}^{2k}}.$

Цей ряд абсолютно збігається до голоморфної функції змінної $\tau$.

Властивості

Модулярність

Дійсна частина G_6 як функція від q на одиничному крузі.

Уявна частина G_6 як функція від q на одиничному крузі.

Ряд Ейзенштейна задає модулярну форму ваги $2k$: для будь-яких цілих $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$ з $ad-bc=1$ маємо

$G_{2k}\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=(c\tau +d{)}^{2k}{G}_{2k}(\tau ).$

Це випливає з того, що ряд Ейзенштейна можна представити як функцію від породженої 1 і $\tau$ ґратки $\mathrm{\Gamma }=⟨1,\tau ⟩$, продовживши його на весь простір ґраток:

$G_{2k}(\mathrm{\Gamma })=\sum _{z\in \mathrm{\Gamma }\setminus \{0\}}{z}^{-2k}.$

Тоді $G_{2k}(\lambda \mathrm{\Gamma })={\lambda }^{-2k}{G}_{2k}(\mathrm{\Gamma }).$ Співвідношення модулярності тоді відповідає переходу від базису $\{\tau ,1\}$ до базису $\{a\tau +b,c\tau +d\}$ тієї ж ґратки (що не змінює значення $G_{2k}(\mathrm{\Gamma })$) та нормуванню другого елементу нового базису на 1.

Представлення модулярних форм

Більш того, як виявляється, будь-яка модулярна форма (довільної ваги $2m$) виражається як многочлен від $G_4$ і $G_6$:

$f=\sum _{4k+6l=2m}{a}_k{G}_4^k{G}_6^l.$

Зв'язок з еліптичними кривими

$\mathrm{\wp }$-функція Вейєрштрасса еліптичної кривої $E=ℂ/\mathrm{\Gamma }$ розкладається в ряд Лорана в нулі як

${\mathrm{\wp }}_E(z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(2k+1)G_{2k+2}(\mathrm{\Gamma })z^{2k}.$

Зокрема, модулярні інваріанти кривої E рівні

$g_2=60G_4,g_3=140G_6.$

Рекурентне співвідношення

Будь-яку голоморфну модулярну форму для модулярної групи можна записати у вигляді многочлена від $G_4$ і $G_6$. Зокрема, $G_{2k}$ вищих порядків можна записати через рекурентне співвідношення, яке залежить від $G_4$ і $G_6$. Нехай $d_k=(2k+3)k!G_{2k+4}$. Тоді $d_k$ задовільняють співвідношення

$\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})d_k{d}_{n-k}=\frac{2n+9}{3n+6}{d}_{n+2}$

для всіх $n\ge 0$. Тут $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ — біноміальний коефіцієнт і $d_0=3G_4$ і $d_1=5G_6$.

Вираз $d_k$ трапляється в розкладі в околі нуля функції Вейєрштрасса:

$\mathrm{\wp }(z)=\frac{1}{z^2}+z^2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{d_k{z}^{2k}}{k!}=\frac{1}{z^2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(2k+1)G_{2k+2}{z}^{2k}$

Ряди Фур'є

G_4

G_6

G_8

G_10

G_12

G_14

Означимо $q=e^{2\pi i\tau }$. (Деякі старі книжки визначають q як ном $q=e^{i\pi \tau }$, але зараз в теорії чисел прийнято стандарт $q=e^{2\pi i\tau }$.) Тоді розклад коефіцієнтів рядів Ейзенштейна в Ряди Фур'є має вигляд

$G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_{2k-1}(n)q^n)$

де коефіцієнти Фур'є $c_{2k}$ задані як

$c_{2k}=\frac{(2\pi i{)}^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}=\frac{-4k}{B_{2k}}=\frac{2}{\zeta (1-2k)}$.

Тут B_n — числа Бернуллі, ζ(z) — дзета-функція Рімана і σ_p(n) — сума дільників, сума p степенів дільників числа n. Зокрема, маємо

$G_4(\tau )=\frac{{\pi }^4}{45}[1+240\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_3(n)q^n]$

and

$G_6(\tau )=\frac{2{\pi }^6}{945}[1-504\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_5(n)q^n]$

Зверніть увагу, що сума q може бути записана у формі вигляді рядів Ламберта; тобто, маємо

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^n{\sigma }_a(n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^a{q}^n}{1-q^n}$

для довільного комплексного |q| ≤ 1 і a. Працюючи з q-розкладом рядів Ейзенштейна, часто вводяться альтернативні позначення

$E_{2k}(\tau )=\frac{G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}=1+\frac{2}{\zeta (1-2k)}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^{2k-1}{q}^n}{1-q^n}$.

Тотожності з рядами Ейзенштейна

Добутки рядів Ейзенштейна

Ряди Ейзенштейна утворюють найбільш явні приклади модулярних форм для повної модулярної групи $S{L}_2(\mathbb{Z}).$ Оскільки простір модулярних форм ваги $2k$ має розмірність 1 для $2k=4,6,8,10,14$ різних добутків рядів Ейзенштейна з цими вагами повинні бути пропорційні. Таким чином, ми отримаємо тотожності:

$E_4^2=E_8,E_4{E}_6=E_{10}{E}_4{E}_{10}=E_{14},E_6{E}_8=E_{14}.$

Використовуючи q-розклади рядів Ейзенштейна, наведені вище, вони можуть бути переформулювані як тотожності, пов'язані з сумами степенів дільників:

$(1+240\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_3(n)q^n{)}^2=1+480\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_7(n)q^n,$

отже

${\sigma }_7(n)={\sigma }_3(n)+120\sum _{m=1}^{n-1}{\sigma }_3(m){\sigma }_3(n-m),$

і аналогічно для інших. Можливо, навіть більш цікаво, тета-функція з восьмивимірної парної унімодулярної ґратки Γ є модулярною формою ваги 4 для повної модулярної групи, що дає такі тотожності:

${\theta }_{\mathrm{\Gamma }}(\tau )=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{r}_{\mathrm{\Gamma }}(2n)q^n=E_4(\tau ),r_{\mathrm{\Gamma }}(n)=240{\sigma }_3(n)$

для числа $r_{\mathrm{\Gamma }}(n)$ векторів квадратної довжини 2n у кореневій ґратці типу E₈.

Література

• А. Вейль, Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру, (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1976), пер.с англ. Ю. И. Манина, М.: «Мир», 1978:
• Серр Ж.-П., Курс арифметики. М.: Мир, 1972.

Шаблон:Мало джерел