Когомологія груп

Когомологія груп — когомологічна теорія, що широко використовується у теорії груп і застосуваннях, зокрема у алгебричній теорії чисел і алгебричній топології.

При цьому підході парі (G, A), де G — група, а A — лівий G-модуль, тобто модуль над цілочисельним груповим кільцем $ℤ (G)$ , зіставляється послідовність абелевих груп Hⁿ(G, А), що називаються групами когомологій групи G з коефіцієнтами в А. Число n, що пробігає всі цілі невід'ємні значення, називається розмірністю групи Hⁿ(G, А).

Групи когомологій є важливими інваріантами, що містять інформацію як про групу G, так і про модулі A.

Означення

Формальне означення за допомогою похідного функтора

Нехай G — деяка група і A — лівий G-модуль, тобто модуль над цілочисельним груповим кільцем $ℤ (G) .$ Нехай A^G — підмодуль G-інваріантних елементів у А, тобто множина таких елементів $a \in A,$ що для всіх елементів g у групі G виконується $g a = a .$

Усі G-модулі утворюють категорію морфізмами в якій є гомоморфізми f для яких виконуються рівності f(ga) = g(fa) для всіх $g \in G$ і $a \in A .$ Категорія G-модулів (тобто категорія $ℤ (G)$ -модулів) має достатньо ін'єктивних об'єктів, як і всі категорії модулів над кільцями.

Відображення A → A^G є функтором із категорії G-модулів у категорію абелевих груп. Цей функтор є точним зліва але не справа, тобто для точної послідовності 0→A→B→C→0 точною є послідовність 0→A^G →B^G →C^G.

Тому для функтора A → A^G можна побудувати праві похідні функтори. Їх значеннями є абелеві групи, що позначаються Hⁿ(G, А) і називаються n-ми когомологічними групами групи G із значеннями у A.

Означення за допомогою проєктивних резольвент

Окрім означення за допомогою ін'єктивних резольвент визначення можна дати за допомогою проєктивних резольвент. Для початку є ізоморфізм ${Hom}_{G} (ℤ, A) ≅ A^{G},$ де $ℤ$ розглядається як G-модуль є з тривіальною дією.

Нехай

\dots \overset{d_{n}}{\to} P_{n} \overset{d_{n - 1}}{\to} P_{n - 1} \to \dots \to P_{0} \to ℤ \to 0

є деякою проєктивною резольвентою тривіального G-модуля $ℤ$ у категорії G-модулів, тобто точною послідовністю, в якій всі модулі P_i є проєктивними. Тоді Hⁿ(G, А) є n-на група когомологій коланцюгового комплексу:

\dots \overset{d'_{n}}{\leftarrow} {Hom}_{G} (P_{n}, A) \overset{d'_{n - 1}}{\leftarrow} {Hom}_{G} (P_{n - 1}, A) \overset{d'_{n - 2}}{\leftarrow} \dots \overset{d'_{0}}{\leftarrow} {Hom}_{G} (P_{0}, A) \leftarrow 0

де відображення $d'_{n}$ індуковані відображеннями $d_{n},$ тобто $H^{n} (G, A) = Ker d'_{n} / lm d'_{n - 1} .$

Дане означення теж є за допомогою похідного функтора — функтора Ext. А саме $H^{n} (G, A) = {Ext}_{ℤ (G)}^{n} (ℤ, A) .$

Стандартні резольвенти

Для обчислення груп когомологій зазвичай використовують стандартну резольвенту тривіального G-модуля $ℤ$ , в якій $P_{n} = ℤ [G_{n} + 1] .$

P_n є вільним, а тому і проєктивним $ℤ (G)$ -модулем. Його базисом є, наприклад множина елементів виду $(1, g_{1}, \dots, g_{n}),$ де $g_{1}, \dots, g_{n}$ — довільні елементи групи G.

Для $(g_{0}, \dots g_{k}) \in G^{n + 1}$ можна визначити граничний оператор як:

d_{n} (g_{0}, g_{1}, \dots, g_{n}) \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (g_{0}, \dots, \hat{g_{i}}, \dots, g_{n})

де знак $\hat{\cdot}$ означає, що член g_i є відсутнім у виразі. Коланцюги з $H o m_{G} (P_{n}, A)$ — функції $f (g_{0}, g_{1}, \dots, g_{n})$ такі, що $g f (g_{0}, g_{1}, \dots, g_{n}) = f (g g_{0}, g g_{1}, \dots, g g_{n}) .$

Роблячи заміну змінних за формулами $g_{0} = 1, g_{1} = h_{1}, g_{2} = h_{1} h_{2}, g_{n} = h_{1} h_{2} . . . h_{n},$ можна перейти до неоднорідних коланцюгів $f (h_{1}, \dots, h_{n}) .$ Дія кограничного оператора на них задається як:

(d^{n + 1} f) (h_{1}, \dots, h_{n + 1}) = h_{1} f (h_{2}, \dots, h_{n + 1}) + \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i} f (h_{1}, \dots, h_{i - 1}, h_{i} h_{i + 1}, \dots, h_{n + 1}) + (- 1)^{n + 1} f (h_{1}, \dots, h_{n}) .

Наприклад одновимірний коцикл — функція $f : G \to A$ така, що $f (g_{1} g_{2}) = g_{1} f (g_{2}) + f (g_{1})$ для $g_{1}, g_{2} \in G,$ а кограниця — функція виду f(g) = ga - a для деякого $a \in A .$ Одновимірний коцикл називається також схрещеним гомоморфізмом, а одновимірна кограниця — тривіальним схрещеним гомоморфізмом. У разі, коли G діє на А тривіально, схрещені гомоморфізми збігаються зі звичайними гомоморфізмами, а всі тривіальні схрещені гомоморфізми рівні 0, тобто в цьому випадку H¹(G, А) = Hom(G, А).

Аксіоматичне означення

Набір функторів $A \to H^{n} (G, A), n = 0, 1, . . .,$ є δ-функтором на категорії лівих G-модулів (як про це описано в статті Похідний функтор, оскільки когомології груп є похідними функторами).

Модуль виду $B = Hom (ℤ (G), X),$ де X — абелева група, a G діє на B за формулою

(g ϕ) (t) = ϕ (t g), \forall ϕ \in B, t \in ℤ (G),

називається коіндукованим. Для ін'єктивних і коіндукованих модулів A: Hⁿ(G, А) = 0 для n > 1. Будь-який модуль A є ізоморфним підмодулю деякого коіндукованого модуля B.

Точна когомологічна послідовність для послідовності

0 \to A \to B \to B / A \to 0

визначає ізоморфізми Hⁿ(G, B/А) ~ Hⁿ⁺¹(G, А) і точну послідовність

B^{G} \to (B / A)^{G} \to H^{1} (G, A) \to 0 .

Таким чином, обчислення n-1 -вимірної групи когомологій для модуля A зводиться до обчислення n-вимірної групи когомологій для модуля B/A. Цей метод називається зсувом розмірностей.

Зсув розмірностей дозволяє дати аксіоматичне означення груп когомологій, як послідовність функторів $A \to H^{n} (G, A)$ з категорії G-модулів в категорію абелевих груп, що утворюють δ-функтор і задовольняють умові Hⁿ(G, А) = 0 при n > 1 для будь-якого коіндукованого модуля B.

Означення груп Hⁿ(G, А) можна дати також за допомогою відношення еквівалентності на множині точних послідовностей G-модулів виду

0 \to A \to M_{1} \to \dots \to M_{n} \to ℤ \to 0 .

Гомологія груп

Групи гомології груп визначаються за допомогою двоїстої конструкції з заміною всюди функтора ${Hom}_{G}$ функтором. $\otimes_{G}$

Нехай знову ж

\dots \overset{d_{n}}{\to} P_{n} \overset{d_{n - 1}}{\to} P_{n - 1} \to \dots \to P_{0} \to ℤ \to 0

є деякою проєктивною резольвентою тривіального G-модуля $ℤ$ у категорії G-модулів.

Застосувавши до цієї послідовності коваріантний функтор $\cdot \otimes_{ℤ (G)} A$ одержується ланцюговий комплекс:

\dots \to F_{n} \otimes_{ℤ (G)} A \to F_{n - 1} \otimes_{ℤ (G)} A \to \dots \to F_{0} \otimes_{ℤ (G)} A \to ℤ \otimes_{ℤ (G)} A .

Гомологічні групи цього комплексу називаються гомологічними групами групи G із значеннями у A і позначається H_n(G, А).

Зважаючи на означення функтора Tor, коротко можна записати:

H_{n} (G, A) = {Tor}_{n}^{ℤ (G)} (ℤ, A) .

Гомологічні групи малої розмірності

Елементи групи H¹(G, А) можна інтерпретувати як класи автоморфізмів групи F, що міститься в точній послідовності $1 \to A \to F \to G \to 1,$ тотожні на A і на G по модулю спряжень елементами $a \in A .$

Елементи групи H²(G, А) інтерпретуються як класи розширень групи A за допомогою G.

Група H³(G, А) допускає інтерпретацію як перешкода для розширень неабелевої групи H з центром A за допомогою G.

Властивості

Якщо E — підгрупа групи G, то обмеження коциклів з G на H визначає для всіх n функторіальні гомоморфізми обмеження

res : H^{n} (G, A) \to H^{n} (E, A)

При n = 0 гомоморфізм res збігається з вкладенням

A^{G} \subset A^{H}

.

Якщо G/E — фактор-група групи G, то підняття коциклів з G/E на G індукує функторіальні гомоморфізми інфляції

\inf : H^{n} (G / E, A^{H}) \to H^{n} (G, A) .

Нехай $ϕ : G^{'} \to G$ — деякий гомоморфізм. Тоді будь-який G-модуль A можна перетворити в G' -модуль, вважаючи для $g^{'} \in G^{'},$ що $g^{'} a = ϕ (g^{'}) a .$ Поєднуючи відображення res і inf, одержується відображення $H^{n} (G, A) \to H^{n} (G^{'}, A) .$ У цьому сенсі $H^{*} (G, A)$ є контраваріантним функтором по G.

Якщо $Π$ — деяка група автоморфізмів групи G, то групи Hⁿ(G, А) можна перетворити в $Π$ -модулі. Наприклад якщо E — нормальна підгрупа групи G, то групам Hⁿ(E, А) можна надати природну структуру G/E-модулів. Це можливо завдяки тому, що внутрішні автоморфізми групи G індукують тотожні відображення на групах Hⁿ(G, А).

Нехай E — підгрупа групи G скінченного індексу. Тоді відображення норми N_G/H: A^E → A^G (яке рівне за означенням $a \mapsto \sum_{g \in G / E} g a$ ) дозволяє, за допомогою зсуву розмірностей, визначити для всіх n функторіальні гомоморфізми кообмеження cores: Hⁿ(E, А) → Hⁿ(G, А), що задовольняють співвідношенню cores(res) = (G:E).

Когомології скінченних груп

Для скінченної групи G відображення норми N^G: A → A (тобто відображення $a \mapsto \sum_{g \in G} g a)$ ) індукує відображення ${\hat{N}}_{G} : H_{0} (G, A) \to H^{0} (G, A),$ де $H_{0} (G, A) = A / J_{G} A$ і $J_{G}$ — ідеал кільця $ℤ (G),$ породжений всіма елементами виду g-1 для $g \in G .$

Відображення $N_{G}$ дозволяє об'єднати точні послідовності когомологій і гомологій. А саме, можна визначити модифіковані групи когомологій — ${\hat{H}}^{n} (G, A)$ (які також називаються когомологіями Тейта) для всіх цілих n:

{\hat{H}}^{n} (G, A) : = {\begin{matrix} H^{n} (G, A) & n ⩾ 1 \\ coker \hat{N} & n = 0 \\ \ker \hat{N} & n = - 1 \\ H_{- n - 1} (G, A) & n ⩽ - 2, \end{matrix}

Для цих когомологій існує точна нескінченна в обидві сторони когомологічна послідовність.

G-модуль A називається когомологічно тривіальним, якщо ${\hat{H}}^{n} (E, A) = 0$ для всіх n і будь-якої підгрупи E. Модуль A є когомологічно тривіальним тоді і тільки тоді, коли існує ціле число i для якого ${\hat{H}}^{i} (E, A) = 0$ i ${\hat{H}}^{i + 1} (E, A) = 0$ для будь-якої підгрупи E. Будь-який модуль A є підмодулем або фактор-модулем когомологічно тривіального модуля, що дозволяє застосовувати зсув розмірностей як для підвищення, так і для пониження розмірності. Зокрема, зсув розмірностей дозволяє визначити відображення res і cores (але не inf) для всіх цілих чисел n.

Для скінченнопородженого G-модуля A групи ${\hat{H}}^{n} (G, A)$ є скінченними.

Групи ${\hat{H}}^{n} (G, A)$ анулюються множенням на порядок групи G, а відображення ${\hat{H}}^{n} (G, A) \to \oplus_{p} H^{n} (G_{p}, A),$ індуковані обмеженнями, де G_p — деяка p-підгрупа Силова групи G є мономорфним. Це дозволяє зводити ряд питань про когомології скінченних груп до розгляду когомологій p-груп.

Когомології циклічної групи мають період 2, тобто для будь-якого n для циклічної групи ${\hat{H}}^{n} (G, A) ≅ {\hat{H}}^{n + 2} (G, A) .$

Для будь-яких цілих $n$ і $m$ визначено відображення (що називається $⌣$ -добутком) де тензорний добуток груп A і B розглядається як G-модуль. В окремому випадку, коли A — кільце і операції з групи G є автоморфізм, то $⌣$ -добуток перетворює групу $\oplus_{n} {\hat{H}}^{n} (G, A)$ в градуйоване кільце.

Теорема двоїстості для $⌣$ -добутку стверджує, що для будь-якої подільної абелевої групи C і G-модуля A $⌣$ -добуток

{\hat{H}}^{n} (G, A) \otimes {\hat{H}}^{- n - 1} (G, Hom (A, C)) \to {\hat{H}}^{- 1} (G, C)

визначає ізоморфізм між групами

{\hat{H}}^{n} (G, A)

і

Hom ({\hat{H}}^{- n - 1} (G, Hom (A, C)), {\hat{H}}^{- 1} (G, C)) .

⌣

-добуток є визначеним і для нескінченної групи G за умови, що n, m > 0.

Когомології проскінченних груп

Багато задач призводять до необхідності розгляду когомологій топологічної групи G, що неперервно діє на топологічному модулі A. Зокрема, якщо G — проскінченна група (випадок найбільш близький до скінченних груп) і A — дискретна абелева група, що є неперервним G-модулем, то можна розглянути когомології групи G з коефіцієнтами в A, що обчислюються в термінах неперервних коланцюгів.

Ці групи можна визначити також як межі $\lim_{\to} H^{n} (G / U, A^{U})$ щодо відображень інфляції, де U пробігає всі відкриті нормальні підгрупи в G.

Ці когомології володіють усіма основними властивостями когомологій скінченних груп. Якщо G — проскінченна p-група, то розмірності над $ℤ / p ℤ$ першої і другої її груп когомологій з коефіцієнтами в $ℤ / p ℤ$ інтерпретуються як мінімальне число твірних елементів і співвідношень (між цими твірними) групи G.

Література

Див. також

Когомологія груп

Зміст

Означення

Формальне означення за допомогою похідного функтора

Означення за допомогою проєктивних резольвент

Стандартні резольвенти

Аксіоматичне означення

Гомологія груп

Гомологічні групи малої розмірності

Властивості

Когомології скінченних груп

Когомології проскінченних груп

Література

Див. також

Навігаційне меню

Когомологія груп

Означення

Формальне означення за допомогою похідного функтора

Означення за допомогою проєктивних резольвент

Стандартні резольвенти

Аксіоматичне означення

Гомологія груп

Гомологічні групи малої розмірності

Властивості

Когомології скінченних груп

Когомології проскінченних груп

Література

Див. також

Навігаційне меню

Пошук