Вільний модуль
Вільний модуль — модуль M над кільцем R (як правило, вважається асоціативним з одиничним елементом), якщо він або є нульовим, або має базис. У випадку коли R є полем довільний векторний простір є вільним модулем. Для загальних кілець натомість існують модулі, що не є вільними.
Означення
Вільним модулем називається модуль, що має базис тобто множину , для якої виконуються умови:
- є породжуючою множиною ; тобто кожен елемент є скінченною сумою де а ;
- є лінійно незалежною, тобто для різних елементів що належать тоді і лише тоді, коли (де є нульовим елементом в а є нульовим елементом в ).
Властивості
- Вільний модуль може мати два скінченних базиси, що складаються з різної кількості елементів. Так як в цьому випадку модуль M буде ізоморфним як Rm так і Rn, де m ≠ n, то цей випадок можливий тоді і тільки тоді, коли над кільцем R існують матриці A розмірності m×n і B розмірності n×m, такі, що AB = Im і BA = In, де Im і In — одиничні квадратні матриці. Зрозуміло, що в разі, коли кільце R допускає гомоморфізм в тіло (це буде так, наприклад, у випадку комутативних кілець і кілець Нетер), дана ситуація неможлива через властивості рангу матриці. У цьому випадку число елементів базису називається рангом модуля M. Для векторного простору ранг простору є його розмірністю.
- Якщо модуль має нескінченний базис, то всі такі базиси мають однакову потужність.
- Скінченнопороджений модуль є вільним тоді і тільки тоді коли він є плоским.
- Якщо (Mi)i є сім'єю вільних модулів над R, то їх пряма сума ⊕i Mi є вільним модулем над R.
- Для вільних модулів M і N над кільцем R їх тензорний добуток M ⊗ N , множина лінійних відображень HomR(M, N) та двоїстий модуль HomR(M, R) є вільними модулями.
Приклади
- Нульовий модуль (тобто модуль єдиним елементом якого є нуль) прийнято вважати вільним модулем з базисом рівним пустій множині.
- Саме кільце R, що розглядається як лівий модуль над собою, очевидно має базис, що складається з єдиного одиничного елемента кільця, а кожен модуль з скінченним базисом з n елементів є ізоморфним прямій сумі R n кілець R, що розглядаються як модулі.
- Будь-яка абелева група є модулем над кільцем цілих чисел Вільні абелеві групи є прикладом вільних модулів.
- Для , -модуль не є вільним. -модуль є модулем без кручень але не є вільним.
- Кільце многочленів над кільцем є вільним модулем збазисом .
- Для довільної множини Шаблон:Math, можна побудувати вільний Шаблон:Math-модуль, базисом якого є множина Шаблон:Math. Він називається модулем формальних лінійних комбінацій елементів Шаблон:Math, або вільним модулем над Шаблон:Math і позначається як Шаблон:Math.
- Для скінченної підмножини Шаблон:Math елементів з Шаблон:Math, формальною лінійною комбінацією елементів Шаблон:Math називається вираз
- Шаблон:Math,
- де всі Шаблон:Math належать кільцю Шаблон:Math.
- Якщо деякий Шаблон:Math дорівнює нулю, формальна лінійна комбінація вважається рівною комбінації, що отримується вилученням цього доданку.
- Множина формальних лінійних комбінацій має природну структуру модуля, для якого множина Шаблон:Math є базисом.
Універсальна властивість
Відображення включення задовольняє таку універсальну властивість: для довільного відображення з множини Шаблон:Math в Шаблон:Math-модуль Шаблон:Math, існує єдиний гомоморфізм модулів , для якого . Ця властивість характеризує Шаблон:Math з точністю до ізоморфізму. Відображення можна продовжити до функтора з категорії множин в категорію Шаблон:Math-модулів.
Узагальнення
Деякі теореми про вільні модулі залишаються вірними і для більш широких класів кілець. Проєктивні модулі — за визначенням є прямими доданками деякого вільного модуля, тому для доведення твердження про проєктивні модулі можна розглянути його вкладення у вільний модуль і скористатися базисом. Ще більш широкими узагальненням є плоскі модулі, які можна уявити як індуктивна границя скінченнопороджених вільних модулів, і модулі без кручень.