Топологічна група

Шаблон:Теорія груп Топологі́чна гру́па — група, яка одночасно є топологічним простором, при цьому множення елементів групи і обертання елемента є неперервними.

Означення

Нехай на множині G задані структури групи і топологічного простору, так, що множення

$G\times G\to G:(x,y)\mapsto xy$

і операція взяття оберненого елементу

$G\to G:x\mapsto x^{-1}$

— неперервні функції. Тут G × G розглядається як добуток топологічних просторів. Тоді G називається топологічною групою.

Еквівалентно достатньо вимагати неперервність відображення:

$G\times G\to G:(x,y)\mapsto x{y}^{-1}$

Лише однієї вимоги неперервності множення є недостатньо. Наприклад якщо на множині цілих чисел $\mathbb{Z}$ ввести топологію у якій відкритими множинами є $\varnothing ,\mathbb{Z}$ і інтервали виду $[n,\mathrm{\infty }),$ то стандартна операція додавання буде неперервною у цій топології, а взяття оберненого елемента (зміна знаку) — ні.

Хоча формально такої вимоги нема але багато авторів вимагають додатково, щоб простір G був гаусдорфовим.

Гомоморфізмом топологічних груп називається гомоморфізм груп G → H, що є також неперервним відображенням між топологічними просторами. Топологічні групи із їх гомоморфізмами утворюють категорію.

Аналогічно ізоморфізмом топологічних груп називають ізоморфізм груп, що є гомеоморфізмом між топологічними просторами.

Приклади

• Довільна абстрактна група із дискретною топологією або антидискретною топологією.
• Векторна група ${ℝ}^n$ — прямий добуток n екземплярів адитивної групи дійсних чисел із стандартною топологією
• Коло — факторгрупа $ℝ/\mathbb{Z}$ групи $ℝ$ по підгрупі цілих чисел $\mathbb{Z}$
• Множина раціональних чисел $\mathbb{Q}$ із топологією породженою стандартною метрикою
• Множина p-адичних цілих чисел із топологією породженою p-адичною нормою
• Групи Лі є топологічними групами із додатковою структурою диференційовного многовиду
• Топологічні векторні простори є топологічними групами щодо операції додавання елементів векторного простору. Простір ${ℝ}^n$ із прикладу вище є одним із прикладів топологічного векторного простору.

Властивості

• Операція множення на групі задає відображення $l_g:x\to gx$ і $r_g:x\to xg.$ Оскільки вони є композиціями тотожного відображення, константи $G\to g$ і множення у групі, то обидва ці відображення є неперервними. Оскільки $l_{g^{-1}}$ і $r_{g^{-1}}$є неперервними і оберененими до $l_g$ і $r_g$ то всі $l_g$ і $r_g$ є гомеоморфізмами.
• З попереднього випливає, що якщо для деяких підмножин $A,B\subset G$ позначити $gA:=l_g(A),Ag:=r_g(A),AB={\cup }_{a\in B}aB$ то для відкритої (замкнутої) підмножини $A,$ усі підмножини $gA$ і $Ag$ теж будуть відкритими (замкнутими). Також якщо хоча б одна із підмножин $A,B$ буде відкритою, то $AB$ і $BA$ будуть відкритими підмножинами. Якщо ж одна із цих підмножин буде замкнутою, а інша — скінченною, то $AB$ і $BA$ будуть замкнутими підмножинами.
• У комутативній топологічній групі компактної підмножини $K$ і замкнутої множини $C$ також $KC$ буде замкнутою множиною.
• Якщо Шаблон:Math є базою околів одиничного елемента Шаблон:Mvar то для кожного Шаблон:Math,

  Шаблон:Math} є базою околів точки Шаблон:Mvar. Тому топологія у групі однозначно визначається базою околів одиничного елемента (чи будь-якого елемента групи). Більш детально, якщо сім'я $ℬ$ підмножин групи Шаблон:Mvar, що містять одиничний елемент задовільняє умови:

  1. Для кожних $U,V\in ℬ$ існує $W\in ℬ$ для якої $W\subseteq U\cap V$
  2. Для кожної $U\in ℬ$ існує $V\in ℬ$ для якої $V^{-1}V\subseteq U$
  3. Для кожної $U\in ℬ$ і Шаблон:Math існує $V\in ℬ$ для якої $Vg\subseteq U$
  4. Для кожної $U\in ℬ$ і Шаблон:Math існує $V\in ℬ$ для якої $gV{g}^{-1}\subseteq U$

то існує єдина топологія на групі для якої $ℬ$ є базою відкритих околів одиничного елемента.

• Базу околів завжди можна вибрати так щоб її елементами були тільки симетричні множини, тобто множини для яких $V^{-1}=V.$
• Топологічні групи є регулярними просторами. Для топологічної групи з одиничним елементом 1, твердження нижче є еквівалентними:
  1. Шаблон:Mvar є T₀-простором;
  2. Шаблон:Mvar є гаусдорфовим простором;
  3. Шаблон:Mvar є цілком регулярним простором;
  4. Множина Шаблон:Math} є замкнутою у Шаблон:Mvar;
  5. Для Шаблон:Mvar і Шаблон:Math існує окіл Шаблон:Mvar одиничного елемента у Шаблон:Mvar для якого Шаблон:Mvar.

• Теорема Біркгофа — Какутані. Топологічна група є метризовною тоді і тільки тоді коли вона є гаусдорфовою і задовольняє першу аксіому зліченності. Із попередніх властивостей твердження можна перефразувати, що група є метризовною коли одиничний елемент є замкнутою підмножиною і для нього існує зліченна база околів. Для метризовних груп завжди існують лівоінваріантні і правоінваріантні метрики тобто метрики $d_1,d_2$ такі, що для всіх $x,y,g\in G$ виконуються рівності $d_1(x,y)=d_1(gx,gy)$ і $d_2(x,y)=d_2(xg,yg).$

Підгрупи і факторгрупи

• Підгрупа Шаблон:Mvar топологічної групи Шаблон:Mvar є топологічною групою для індукованої топології. Факторпростір Шаблон:Math суміжних класів забезпечується фактортопологією щодо канонічного відображення групи Шаблон:Mvar на Шаблон:Math. Відображення Шаблон:Math завжди є відкритим.

• Якщо Шаблон:Mvar є нормальною підгрупою топологічної групи Шаблон:Mvar, то факторгрупа Шаблон:Math є топологічною групою щодо фактортопології.
• Компонента зв'язності одиничного елемента групи Шаблон:Mvar₀ завжди є замкнутою нормальною підгрупою. Факторгрупа Шаблон:Math є цілком незв'язаною.
• Для будь якого елемента g ∈ Шаблон:Mvar компонента зв'язності, що містить цей елемент має вигляд Шаблон:Mvar₀ або еквівалентно Шаблон:Mvar₀Шаблон:Mvar, тобто компонентами зв'язності є ліві і праві класи суміжності по підгрупі Шаблон:Mvar_0.

• Кожна відкрита підгрупа Шаблон:Mvar є також замкнутою у Шаблон:Mvar, оскільки доповнення Шаблон:Mvar є об'єднанням відкритих множин Шаблон:Math для Шаблон:Math. Якщо Шаблон:Mvar є підгрупою Шаблон:Mvar то і замикання Шаблон:Mvar є підгрупою. Зокрема якщо Шаблон:Mvar є нормальною підгрупою, то і замикання Шаблон:Mvar є нормальною підгрупою у Шаблон:Mvar.

• Факторпростір Шаблон:Math є гаусдорфовим тоді і тільки тоді коли підгрупа Шаблон:Mvar є замкнутою у (не обов'язково гаусдорфовій) групі Шаблон:Mvar. Якщо підгрупа Шаблон:Mvar і факторпростір Шаблон:Math є гаусдорфовими, то і група Шаблон:Mvar є гаусдорфовою. Факторпростір Шаблон:Math завжди є регулярним.

• Як і кожна абстрактна група топологічна група Шаблон:Mvar задовольняє групові теореми про ізоморфізми. У випадку першої теореми про ізоморфізм якщо гомоморфізм топологічних груп $\phi :G\to H$ є не лише неперервним, а й відкритим (або замкнутим) відображенням, то ізоморфізм груп $G/\ker \phi$ і образу гомоморфізма $\phi$ є також гомеоморфізмом, тобто також і ізоморфізмом у категорії топологічних груп. Додаткові вимоги для гомоморфізму є необхідними. Якщо, наприклад, розглянути тор $T=S^1\times S^1$ і неперервний гомоморфізм ${\phi }_{\lambda }:ℝ\to T$ заданий як $t\to (e^{2\pi it},e^{2\pi i\lambda t})$ для ірраціонального числа $\lambda$, то ${\phi }_{\lambda }$ є ін'єктивним відображенням і його образ є ізоморфний як група адитивній групі дійсних чисел. Проте із індукованою топологією він не є гомеоморфний множині дійсних чисел із стандартною топологією, оскільки будь-який окіл довільної точки містить як завгодно великі дійсні числа.

Для третьої теореми про ізоморфізм якщо $N$, $K$ — нормальні підгрупи в $G$, такі що $K\subseteq N$, тоді існує ізоморфізм груп $(G/K)/(N/K)$ і $G/N$ і він також завжди є гомеоморфізмом відповідних топологічних просторів, тобто також і ізоморфізмом у категорії топологічних груп.

Для другої теореми про ізоморфізм для $S$ — підгрупи в $G$ і $N$ — нормальної підгрупи в $G$ ізоморфізм факторгруп $(SN)/N$ і $S/(S\cap N)$ може не бути гомеоморфізмом. Наприклад нехай $G=ℝ,N=\mathbb{Z}$ і $S=\lambda \mathbb{Z},$ де $\lambda$ є деяким ірраціональним числом і груповою операцією в усіх групах є звичайне додавання. Тоді $S\cap N=\{0\}$ і тому $S/(S\cap N)=S,$ тобто є дискретним простором ізоморфним адитивній групі цілих чисел. Натомість $N+S=\mathbb{Z}+\lambda \mathbb{Z}$ є щільною підмножиною дійсних чисел, а тому $(S+N)/N=(\mathbb{Z}+\lambda \mathbb{Z})/\mathbb{Z}$ є щільною підмножиною кола $S^1=ℝ/\mathbb{Z}.$ Відповідно $(S+N)/N$ не є дискретним простором оскільки кожна його відкрита підмножина містить нескінченну кількість елементів. Відповідно простори $S/(S\cap N)$ і $(S+N)/N$ не є гомеоморфними.

Рівномірні структури

Топологічна група $G$ є рівномірним простором якщо прийняти, що підмножина $V\subset G\times G$ є оточенням якщо і тільки якщо вона містить множину $\{(x,y):x{y}^{-1}\in U\}$ для деякого околу $U$ одиничного елемента групи $G$. Ця рівномірна структура на $G$ називається правою рівномірною структурою на $G$, оскільки для кожного елемента $a\in G$, праве множення $x\to xa$ є рівномірно неперервним щодо цієї рівномірної структури.

Також можна ввести ліву рівномірну структуру на $G$, вони можуть бути різними але породжують однакову топологію на $G$.

Існування рівномірної структури на топологічній групі дозволяє ввести і використовувати поняття рівномірної неперервності, послідовності Коші, повноти і поповнення.

Гомотопні властивості

Якщо $f_1,f_2:[0,1]\to G$ є петлями в одиничному елементі (тобто $f_1(0)=f_2(0)=f_1(1)=f_2(1)=1_G$) то для фундаментальної групи ${\pi }_1(G,1_G)$ множення визначається множенням у самій групі $G,$ тобто $[f_1][f_2]=[f_1*f_2]=[f_1{f}_2],$ де $f_1{f}_2$ є петлею одержаною звичайним множенням у групі, тобто $(f_1{f}_2)(t)=f_1(t)f_2(t).$ Аналогічно у фундаментальній групі $[f_1{]}^{-1}=[f_1^{-1}].$

Фундаментальна група топологічної групи є комутативною.

Оскільки будь-яка петля $f_1:[0,1]\to G$ у елементі $g\in G$ є неперервним образом петлі $g^{-1}{f}_1$ при відображенні $l_g$ і дві петлі $f_1,f_2:[0,1]\to G$ у елементі $g$ є гомотопними тоді і тільки тоді коли гомотопними є відповідні петлі $g^{-1}{f}_1$ і $g^{-1}{f}_2$ то всі фундаментальні групи ${\pi }_1(G,g)$ є ізоморфними ${\pi }_1(G,1_G)$ і групу ${\pi }_1(G,1_G)$ як правило просто позначають ${\pi }_1(G).$

П'ята проблема Гільберта

Визначальну роль в побудові теорії топологічних групі відіграла п'ята проблема Гільберта. Сформульована в 1900 як проблема про локальні групи перетворень, ця проблема була переосмислена в процесі розвитку теорії топологічних груп.

У сучасних термінах проблему можна сформулювати як: чи є будь-яка топологічна група, що є також топологічним многовидом групою Лі?

П'ята проблема Гільберта була вирішена у 1952. Важливим елементом стало доведення критерію, що локально компактна група $G$ є групою Лі тоді і тільки тоді, коли у $G$ існує окіл одиниці, який не містить нетривіальних підгруп.

Було показано також, що локально компактна група $G$ з компактною факторгрупою Шаблон:Math є проективною границею груп Лі.

Див. також

• H-простір
• Група Лі
• Топологічний векторний простір

Джерела

• Шаблон:Бурбакі.Загальна топологія.г4-8
• Шаблон:Голод.Клімик.Математичні основи теорії симетрії
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation