Топологічний векторний простір

Означення

Топологічний векторний простір над топологічним полем $K$ — векторний простір $E$ над $K$, наділений топологією, що узгоджується зі структурою векторного простору, тобто задовольняє наступним аксіомам:

1. відображення $(x_1,x_2)\to x_1+x_2,E\times E\to E$ є неперервним;
2. відображення $(k,x)\to kx,K\times E\to E$ є неперервним

В цих означеннях добутки $E\times E$ і $K\times E$ наділені добутками відповідних топологій).

Цілком аналогічно можна визначити топологічний лівий і правий векторний простори над (не обов'язково комутативним) топологічним тілом. Для позначення топологічного векторного простору $E$ з топологією $\tau$ іноді використовується символ $(E,\tau )$.

Топологічні векторні простори $E_l$ і $E_2$ над одним і тим же топологічним полем $K$ називаються ізоморфними, якщо існує неперервне лінійне взаємно однозначне відображення $E_1$ на $E_2$, обернене до якого також є неперервним. Розмірністю топологічного векторного простору $(E,\tau )$ називається розмірність векторного простору $E$.

Властивості

• Нехай $(E,\tau )$ — топологічний векторний простір над топологічним полем $K$. Топологія $\tau$ є інваріантною щодо зсувів (тобто відображення $x\to x+a$ є гомеоморфізмом на себе для кожного $a\in E$). Як наслідок топологія $\tau$ однозначно визначається базою околів довільної фіксованої точки (зокрема, нуля).

• Для того щоб простір $(E,\tau )$ був гаусдорфовим, необхідно і достатньо, щоб для будь-якої точки $x\in E,x\ne 0$ існував окіл нуля, що не містить $x$.
• Якщо простір $(E,\tau )$ є гаусдорфовим, то він є цілком регулярним.
• В просторі $(E,\tau )$ існує єдина рівномірна структура, що є інваріантною щодо зсувів (тобто для неї всі зсуви є рівномірно неперервними відображеннями) і асоційована з нею топологія збігається з вихідною топологією простору. Множина в топологічному векторному просторі називається повною, якщо вона є повною щодо цієї рівномірної структури.

• Топологічний векторний простір $(E,\tau )$ є повним, якщо кожен фільтр Коші в $(E,\tau )$ є збіжним.

• Для будь-якого топологічного векторного простору $E$ існує повний топологічний векторний простір над тим же полем, що містить $E$ як усюди щільну підмножину і індукує на $E$ вихідні лінійну структуру і топологію. Цей простір називається поповненням простору $E$.

• Будь-який гаусдорфів топологічний векторний простір $E$ має гаусдорфове поповнення, що є єдиним з точністю до ізоморфізму, що залишає нерухомими елементи простору $E$.

• Нехай тепер $K$ — недискретне нормоване поле, наділене топологією, яка визначається нормою. Якщо $E$ — векторний простір над $K$, то множина $Q\subset E$ називається збалансованою (або врівноваженою), якщо $kQ\subset Q$ для всіх $k\in K,|k|⩽1$. Якщо $A$ і $B$ — дві підмножини в $E$, то кажуть, що $A$ поглинає $B$, якщо існує таке додатне число $r$, що $kA\supset B$ при $k\in K,|k|>r$. Підмножина простору $E$ називається поглинаючою (або радіальною), якщо вона поглинає кожну одноточкову множину. У всякому топологічному векторному просторі над $K$ існує база $𝒰$ замкнутих околів нуля з наступними властивостями:

1. для будь-якої множини $V\in 𝒰$ існує $W\in 𝒰$ таке, що $W+W\subset V$;
2. кожна підмножина $V\in 𝒰$ є збалансованою і поглинаючою;
3. якщо $V\in 𝒰$, то і $kV\in 𝒰$ для всякого $k\in K,k\ne 0.$

• З іншого боку, нехай $\tau$ — топологія в векторному просторі $E$ над $K$, що є інваріантною щодо зсувів і має базу околів нуля, що задовольняє властивості властивості (1) і (2) вище, а також властивість: За) існує таке $k\in K,0<|k|<1$, що, якщо $V\in 𝒰$, то і $kV\in 𝒰$. Тоді $E$ з топологією $\tau$ є топологічним векторним простором над $K$ (в тому випадку, коли норма в полі $K$ є архімедовою, (За) є наслідком інших вимог, накладених на $(E,\tau )$). Всякий базис фільтра $𝒰$ у векторному просторі $E$ над $K$, що задовольняє властивостями (1), (2), (За) є фундаментальною системою околів нуля (не обов'язково замкнутих) деякої однозначно визначеної топології $\tau$ в $E$, що узгоджується зі структурою векторного простору в $E$. У топологічному векторному просторі над полем дійсних чисел $ℝ$ або над полем комплексних чисел $ℂ$ його топологія називається локально опуклою, якщо $\tau$ має базу околів нуля, що складається з опуклих множин (іноді в визначення локально опуклого простору включається ще вимога його гаусдорфовості).

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book

Шаблон:-Шаблон:Math-stub Шаблон:Функційний аналіз