Морфізм алгебричних многовидів

В алгебричній геометрії, морфізмом між алгебричними многовидами називається відображення між многовидами, що локально є многочленом. Морфізми також називають регулярними відображеннями. Морфізм із алгебричного многовида в афінну пряму називається регулярною функцією.

Регулярне відображення, для якого існує обернене відображення, що теж є регулярним називається бірегулярним. Бірегулярні відображення є ізоморфізмами у категорії алгебричних многовидів. Загалом регулярність і бірегулярність є досить сильними умовами, наприклад єдиними регулярними функціями на проєктивних многовидах є константи. Тому часто при вивченні алгебричних многовидів використовують слабші властивості відображень, зокрема раціональність і біраціональність.

Означення

Якщо X і Y є підмноговидами афінних просторів Aⁿ і A^m, то регулярне відображення ƒ:X→Y є обмеженням поліноміального відображення Aⁿ→A^m. Тобто відображення має вид

$f=(f_1,\dots ,f_m)$

де $f_i$ належать координатному кільцю многовида X:

$k[X]=k[x_1,\dots ,x_n]/I,$

а I — ідеал, що визначає X, і образ $f(X)$ належить Y; тобто задовольняє поліноміальні рівняння, що визначають Y. (Два многочлени f і g задають одну функцію на X якщо і тільки якщо f − g належить ідеалу I.)

Для проєктивних чи квазіпроєктивних многовидів, відображення ƒ:X→Y між двома многовидами називається регулярним в точці x якщо існує окіл U точки x і окіл V точки ƒ(x) для яких ƒ(U) ⊂ V і обмеження відображення ƒ:U→V є регулярним як відображення між деякими афінними картами на U і V. Відображення ƒ називається регулярним, якщо воно є регулярним в усіх точках X. Якщо X і Y є афінними, то два подані вище означення регулярності відображення ƒ:X→Y є еквівалентними (афінні многовиди є квазіпроєктивними).

У загальному випадку X і Y є абстрактними алгебричними многовидами, тобто певним видом окільцьованих просторів і відображення ƒ:X→Y між ними називається регулярним, якщо воно є морфізмом локально окільцьованих просторів.

Композиція регулярних відображень є регулярним відображенням; тому алгебричні многовиди утворюють категорію морфізмами якої є регулярні відображення.

Регулярні відображення між афінними многовидами утворюють контраваріантну однозначну відповідність з гомоморфізмами між координатними кільцями: якщо ƒ:X→Y є морфізмом афінних многовидів, тоді він задає k-гомоморфізм

$f^{\mathrm{\#}}:k[Y]\to k[X],g\mapsto g\circ f$

де $k[X],k[Y]$ — координатні кільця многовидів X і Y; дане означення є добре заданим оскільки $g\circ f=g(f_1,\dots ,f_m)$ є многочленом щодо елементів $k[X]$. Навпаки, якщо $\varphi :k[Y]\to k[X]$ є k-гомоморфізмом афінних алгебр, то він задає морфізм

${\varphi }^a:X\to Y$

таким чином: записавши $k[Y]=k[y_1,\dots ,y_m]/J,$

${\varphi }^a=(\varphi (\overline{y_1}),\dots ,\varphi (\overline{y_m}))$

де ${\bar{y}}_i$ є образами елементів $y_i$.

Виконуються рівності ${{\varphi }^a}^{\mathrm{\#}}=\varphi$ і ${f^{\mathrm{\#}}}^a=f.$ Зокрема, f є ізоморфізмом афінних многовидів, якщо і тільки якщо f^# є ізоморфізмом координатних кілець.

Наприклад, якщо X є замкнутим підмноговидом афінного многовида Y і ƒ є включенням, то ƒ^# є обмеженням регулярної функції з Y на X.

Регулярні функції

Якщо Y є рівним A¹ регулярне відображення ƒ:X→A¹ називається регулярною функцією. Регулярні функції є алгебричним аналогом гладких функцій у диференціальній геометрії. Кільце регулярних функцій є фундаментальним об'єктом досліджень афінної алгебричної геометрії. Єдиними регулярними функціями на є константи (цей факт можна розглядати як алгебричний аналог теореми Ліувіля в комплексному аналізі).

Функція ƒ:X→A¹ є регулярною в точці x якщо, в деякому афінному околі точки x, вона є раціональною функцією регулярною в точці x; тобто якщо існують деякі регулярні функції g, h в афінному околі x, такі що f = g/h і h не рівна нулю в точці x.

Якщо X є квазіпроєктивним многовидом, тобто відкритим підмноговидом проєктивного многовида, тоді поле функцій k(X) є рівним полю функцій замикання $\bar{X}$ многовида X і тому раціональні функції на X мають вид g/h для деяких однорідних елементів g, h однакового степеня $k[\bar{X}]$ від однорідних координат проєктивного многовида $\bar{X}$. Тоді раціональна функція f на X є регулярною в точці x, якщо і тільки якщо існують однорідні елементи g, h однакового степеня в $k[\bar{X}]$, для яких f = g/h і h не рівний нулю в точці x. Цю властивість можна також взяти за означення регулярних функцій.

Порівняння з морфізмами схем

Якщо X = Spec A і Y = Spec B є афінними схемами, тоді гомоморфізм кілець Шаблон:Nowrap задає морфізм схем

${\varphi }^a:X\to Y,𝔭\mapsto {\varphi }^{-1}(𝔭)$

визначений через прообрази простих ідеалів. Всі морфізми афінних схем задаються подібним чином і за допомогою склеювання таких морфізмів вводиться поняття морфізмів загальних схем.

Якщо X, Y є афінними многовидами, тобто A і B є областями цілісності і скінченнопородженими алгебрами над алгебрично замкнутим полем k, то, розглядаючи лише замкнуті точки, отримуємо еквівалентне означення регулярності відображення. (Доведення: якщо Шаблон:Nowrap є морфізмом, то записавши $\varphi =f^{\mathrm{\#}}$, потрібно довести, що

${𝔪}_{f(x)}={\varphi }^{-1}({𝔪}_x)$

де ${𝔪}_x,{𝔪}_{f(x)}$ є максимальними ідеалами точок x і f(x); тобто, ${𝔪}_x=\{g\in k[X]\mid g(x)=0\}$. Це відразу випливає з означень.)

Як наслідок категорію афінних многовидів можна ідентифікувати як повну підкатегорію категорії афінних схем над полем k. Оскільки морфізми довільних многовидів одержуються склеюваннями морфізмів афінних многовиди як і морфізми схем з морфізмів афінних схем, категорія многовидів є повною підкатегорією категорії схем над полем k.

Приклади

• Регулярними функціями на Aⁿ є многочлени від n змінних; регулярними функціями на Pⁿ є лише константи.
• Нехай X — афінна крива $y=x^2$. Тоді відображення

$f:X\to {𝐀}^1,(x,y)\mapsto x$

є морфізмом; воно є бієкцією із оберненим відображенням $g(x)=(x,x^2)$. Оскільки g теж є морфізмом, то f є ізоморфізмом многовидів.

• Нехай X — афінна крива $y^2=x^3+x^2$. Тоді

$f:{𝐀}^1\to X,t\mapsto (t^2-1,t^3-t)$

є морфізмом. Йому відповідає гомоморфізм кілець

$f^{\mathrm{\#}}:k[X]\to k[t],g\mapsto g(t^2-1,t^3-t),$

який є ін'єктивним (оскільки f є сюр'єктивним).

• В попередньому прикладі, нехай U = A¹ − {1}. Оскільки U є доповненням гіперплощини t = 1, то U є афінним многовидом. Відображення $f:U\to X$ є бієкцією. Але відповідний гомоморфізм кілець є включенням $k[X]=k[t^2-1,t^3-t]\hookrightarrow k[t,(t-1{)}^{-1}]$, що не є ізоморфізмом, тож f |_U теж не є ізоморфізмом многовидів.
• Нехай X — афінна крива x² + y² = 1 і

$f(x,y)=\frac{1-y}{x}$.

Тоді f є раціональною функцією на X. Вона є регулярною на (0, 1) оскільки як раціональна функція на X, f може бути записана як $f(x,y)=\frac{x}{1+y}$.

• Нехай Шаблон:Nowrap. Тоді X є алгебричним многовидом оскільки X є відкритою підмножиною многовида. Якщо f є регулярною функцією на X, тоді f є регулярною на $D_{{𝐀}^2}(x)={𝐀}^2-\{x=0\}$ і належить $k[D_{{𝐀}^2}(x)]=k[{𝐀}^2][x^{-1}]=k[x,x^{-1},y]$. Також вона належить $k[x,y,y^{-1}]$. Тому:

  $f=\frac{g}{x^n}=\frac{h}{y^m}$

де g, h є многочленами з k[x, y]. Як наслідок g ділиться на xⁿ і f є многочленом. Тому кільце регулярних функцій на X рівне k[x, y]. (Тому, зокрема, X не є афінним многовидок; в іншому випадку, мало б бути X = A².)

• Припустимо ${𝐏}^1={𝐀}^1\cup \{\mathrm{\infty }\}$ ідентифікуючи точки (x : 1) з точками x на A¹ і ∞ = (1 : 0). Існує автоморфізм σ многовида P¹ заданий як σ(x : y) = (y : x); зокрема, σ переставляє 0 і ∞. якщо f є раціональною функцією на P¹, Тоді

${\sigma }^{\mathrm{\#}}(f)=f(1/z)$

і f є регулярною у ∞ якщо і тільки якщо f(1/z) є регулярною в нулі.

• Для довільних алгебричних многовидів X, Y, проєкція

  $p:X\times Y\to X,(x,y)\mapsto x$

є морфізмом многовидів. Якщо X і Y є афінними, то відповідний гомоморфізм кілець:

$p^{\mathrm{\#}}:k[X]\to k[X\times Y]=k[X]{\otimes }_{k}k[Y],f\mapsto f\otimes 1$

де $(f\otimes 1)(x,y)=f(p(x,y))=f(x)$.

Властивості

Морфізм між многовидами є неперервним відображенням щодо топології Зариського.

Образ морфізма многовидів може не бути відкритою чи замкнутою множиною (наприклад, образ відображення ${𝐀}^2\to {𝐀}^2,(x,y)\mapsto (x,xy)$). Якщо f є морфізмом між многовидами, то образ f містить відкриту щільну підмножину його замикання.

Морфізм ƒ:X→Y алгебричних многовидів називається домінантним якщо його образ є щільною множиною. Для такого f, якщо V є непустою відкритою афінною підмножиною многовида Y, то існує непуста відкрита афінна підмножина U многовида X, для якої ƒ(U) ⊂ V, і тоді $f^{\mathrm{\#}}:k[V]\to k[U]$ є ін'єкцією. Тобто домінантне відображення індукує ін'єкції на рівні полів функцій:

$k(Y)=\underrightarrow{\lim }k[V]\hookrightarrow k(X),g\mapsto g\circ f$

де границя береться по всіх непустих афінних відкритих підмножинах Y. Навпаки, кожне включення полів $k(Y)\hookrightarrow k(X)$ індукується домінантним раціональним відображенням з X в Y. Відповідно дана конструкція визначає контраваріантну еквівалентність між категорією алгебричних многовидів над полем k і домінантних раціональних відображень між ними і категорією скінченнопороджених розширень поля k.

Якщо X є гладкою повною кривою (Наприклад, P¹) і якщо f є раціональним відображенням з X у проєктивний простір P^m, то f є a регулярним відображенням X → P^m. Зокрема, коли X є гладкою повною кривою, будь-яка раціональна функція на X може розглядатися як морфізм X → P¹ і, навпаки, такий морфізм як раціональна функція на X.

Для нормального многовида (зокрема гладкого многовида) раціональна функція є регулярною, якщо і тільки якщо вона не має полюсів корозмірності 1.

Морфізм між алгебричними многовидами, що є гомеоморфізмом топологічних просторів, не обов'язково буде ізоморфізмом (контрприкладом є морфізм Фробеніуса $t\mapsto t^p$.) Навпаки, якщо f бієктивним біраціональним відображенням у нормальний многовид, то f є бірегулярним. (Головна теорема Зариського.)

Регулярне відображення між комплексними алгебричними многовидами є голоморфним. Зокрема регулярне відображення на комплексну пряму є голоморфною функцією.

Морфізми в проєктивний простір

Нехай

$f:X\to {𝐏}^m$

є морфізмом з проєктивного многовида в проєктивний простір і x — точка в X. Тоді деяка i-та однорідна координата точки f(x) є ненульовою; наприклад, i = 0 для простоти. Тоді, з неперервності, існує відкритий афінний окіл U точки x такий що

$f:U\to {𝐏}^m-\{y_0=0\}$

є морфізмом, де y_i позначає однорідні координати. Область значень у цьому випадку є афінним простором A^m, якщо ідентифікувати $(a_0:\dots :a_m)=(1:a_1/a_0:\dots :a_m/a_0)\sim (a_1/a_0,\dots ,a_m/a_0)$. Тому, згідно з означенням, обмеження f |_U задається як

$f{|}_U(x)=(g_1(x),\dots ,g_m(x))$

де g_i є регулярними функціями на U. Оскільки X є проєктивним многовидом, кожна g_i є часткою однорідних елементів однакового степеня однорідного координатного кільця k[X] многовида X. Ці частки можна упорядкувати так, що вони матимуть спільний однорідний знаменник f₀. Тоді можна записати g_i = f_i/f₀ для деяких однорідних елементів f_i у k[X]. Повертаючись до однорідних координат,

$f(x)=(f_0(x):f_1(x):\dots :f_m(x))$

для всіх x у U і згідно з неперервністю для всіх x з X, для яких не всі одночасно f_i приймають нульове значення. Якщо всі одночасно f_i приймають нульове значення в точці x многовида X, то, згідно з описаною вище процедурою, можна обрати f_i, які не приймають одночасно нульове значення в цій точці.

Описане вище насправді є справедливим для довільного квазіпроєктивного многовида X, що є відкритим підмноговидом проєктивного многовида $\bar{X}$, з тією різницею, що f_i належать однорідному координатному кільцю многовида $\bar{X}$.

Зауваження: Написане вище не означає що морфізм з проєктивного многовида в проєктивний простір задається єдиною множиною многочленів (як у афінному випадку). Наприклад, нехай X — коніка $y^2=xz$ в P². Тоді два відображення $(x:y:z)\mapsto (x:y)$ і $(x:y:z)\mapsto (y:z)$ узгоджуються на відкритій підмножині $\{(x:y:z)\in X\mid x\ne 0,z\ne 0\}$ коніки X (оскільки $(x:y)=(xy:y^2)=(xy:xz)=(y:z)$) і визначають морфізм $f:X\to {𝐏}^1$.

Прообрази морфізма

Важливим результатом є теорема: Нехай f: X → Y — домінуючий морфізм алгебричних многовидів, і r = dim X − dim Y. Тоді

1. Для кожної незвідної замкнутої підмножини W многовида Y і кожної незвідної компоненти Z прообразу $f^{-1}(W)$, що домінує W,

   $\dim Z\ge \dim W+r.$

2. Існує непуста відкрита підмножина U в Y, для якої (a) $U\subset f(X)$ і (b) для кожної незвідної замкнутої підмножини W многовида Y з непустим перетином з U і кожної незвідної компоненти Z прообразу $f^{-1}(W)$ з непустим перетином з $f^{-1}(U)$,

   $\dim Z=\dim W+r.$

Нехай f: X → Y — морфізм алгебричних многовидів. Для кожної точки x з X, позначимо

$e(x)=\max \{\dim Z\mid Z,$ де Z — незвідна компонента $f^{-1}(f(x))$, що містить x.

Тоді e є верхньою напівнеперервною функцією, тобто для кожного цілого числа n, множина

$X_n=\{x\in X\mid e(x)\ge n\}$

є замкнутою.

Див. також

• Алгебричний многовид
• Окільцьований простір

Література

• William Fulton, Intersection theory 2-ге видання
• Шаблон:Cite book
• Milne, Algebraic geometry Шаблон:Webarchive, стара версія v. 5.xx.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book