Алгебричний многовид

В алгебричній геометрії алгебричний многовид — множина точок, координати яких задовольняють деякій системі поліноміальних рівнянь.

Визначення

Розглядаються чотири види алгебричних многовидів: афінні многовиди, квазі-афінні многовиди, проєктивні многовиди і квазі-проєктивні многовиди.

Афінні многовиди

Нехай $K$ є алгебрично замкнуте поле і ${𝐀}^n$ — n-вимірний афінний простір над $K$. Многочлени $F\in K[x_1,...,x_n]$ можна розглядати як функції з ${𝐀}^n$, зі значеннями в $K$. Для кожного $S\subset k[x_1,...,x_n]$ можна визначити підмножину ${𝐀}^n$, в якій значення всіх поліномів з множини $S$ рівне нулю:

$Z(S)=\{x\in {𝐀}^n|f(x)=0\mathrm{\forall }f\in S\}$

Підмножина $V$, множини ${𝐀}^n$ називається афінною алгебричною множиною, якщо $V=Z(S)$ для деякої $S$. Непорожня афінна алгебрична множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебричних підмножин. Незвідні афінні алгебричні множини називаються афінними алгебричними многовидами, або просто афінними многовидами.

Для афінного многовиду можна задати природну топологію, замкнутими множинами якої є всі алгебричні множини. Дана топологія називається топологією Зариського.

Для $V\subset {𝐀}^n$ нехай $I(V)$ — ідеал многочленів, значення яких на множині $V$ рівні нулю.

$I(V)=\{f\in k[x_1,...,x_n]|f(x)=0\mathrm{\forall }x\in V\}$

Для будь-якої алгебричної множини $V$ координатним кільцем або структурним кільцем називається фактор-кільце многочленів по цьому ідеалу.

Проєктивні многовиди

Нехай ${𝐏}^n$ — n-вимірний проєктивний простір над полем $K$. Однорідний многочлен $K[x_0,...,x_n]$, можна розглядати як функцію ${𝐏}^n$, зі значеннями в $K$. Для будь-якого $S\subset {𝐏}^n$ аналогічно, як у афінному випадку визначаємо:

$Z(S)=\{x\in {𝐏}^n|f(x)=0\mathrm{\forall }f\in S\}$

Підмножина $V$, множини ${𝐏}^n$ називається проєктивною алгебричною множиною, якщо $V=Z(S)$ для деякої $S$. Непорожня проєктивна алгебрична множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебричних підмножин. Незвідні проєктивні алгебричні множини називаються проєктивними алгебричними многовидами, або просто проєктивними многовидами.

Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію Зариського.

Для $V\subset {𝐏}^n$ Нехай $I(V)$ — ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині $V$ рівне нулю. Для будь-якої проєктивної алгебричної множини $V$ фактор-кільце по цьому ідеалу називається координатним кільцем.

Основні властивості

• Афінна алгебрична множина $V$ є алгебричним многовидом тоді і тільки тоді коли $I(V)$ є простим ідеалом.
• Довільна непорожня афінна алгебрична множина може бути явно представлена у вигляді суми алгебричних многовидів.

Див. також

• Схема (математика)
• Теорема Гільберта про нулі

Посилання

Ю.Дрозд. Алгебрична геометрія і її застосування.Курс лекцій Шаблон:Webarchive

Література

• Шаблон:Атья.Макдональд.Введение в коммутативную алгебру
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
• David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms, second edition, Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2.
• David Eisenbud (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94269-6.
• David Dummit; Richard Foote (2003). Abstract Algebra, third edition, Wiley. ISBN 0-471-43334-9.