Ядро та образ лінійного оператора

В лінійній алгебрі і функціональному аналізі для лінійного оператора $L:V\to W$

Ядром лінійного оператора називається наступна підмножина $V$:

$\ker (L)=\{v\in V:L(v)=0\}$

вона утворює лінійний підпростір в просторі $V.$

Образом лінійного відображення називається наступна підмножина $W$:

$\mathrm{im}(L)=\{w\in W:w=L(v),v\in V\}$

вона утворює лінійний підпростір в просторі $W.$

Ядро оператора ще називають нуль-простором оператора і позначають: $\mathrm{null}(L).$

Властивості

• Два елементи з V мають однаковий образ в W тоді і тільки тоді коли їх різниця належить ядру L:

$L(v)=L(w)⟺(v-w)\in \ker (L).$

Тобто образ L є ізоморфним до фактор-простору в V утвореного ядром:

$\text{im}(L)\cong V/\ker (L)\text{.}$

(див. Першу теорему про ізоморфізми для лінійних просторів).

• Якщо в V визначений скалярний добуток, тоді V / ker(L) може бути представленим як ортогональне доповнення до ker(L) в V.

Простори скінченної розмірності і матриці

Коли V та W є просторами скінченної розмірності n та m відповідно, тоді в них можна вибрати базиси і задати лінійний оператор L множенням на матрицю A розміру m-на-n: $v\mapsto 𝐀v.$

Визначення ядра матриці записується як $\ker (𝐀)=\{x\in V:𝐀x=0\}$, тобто еквівалентно множині розв'язків однорідної СЛАР.

Rank-nullity теорема

Між розмірностями образу і ядра існує наступне співвідношення (rank-nullity theorem):

$\dim (\ker L)+\dim (\mathrm{im}L)=\dim (V)$

Число $\dim (\mathrm{im}L)$ називається рангом $L$ і записується як $\mathrm{rank}(L)$ чи $\mathrm{rk}(L).$

Ранг відображення збігається з рангом матриці відображення.

Основна теорема лінійної алгебри

Матриця A ( rank A = r) вводить чотири фундаментальні підпростори:

Назва	Визначення	Простір в якому існує	Розмірність
простір стовпців чи образ	im(A) чи range(A)	${ℝ}^m$	r
нульпростір чи ядро	ker(A) чи null(A)	${ℝ}^n$	n — r
простір рядків чи кообраз(Шаблон:Iw)	im(AT) чи range(AT)	${ℝ}^n$	r
лівий нульпростір чи коядро	ker(AT) чи null(AT)	${ℝ}^m$	m — r

• В ${ℝ}^n\ker (A)=(\mathrm{i}\mathrm{m}(A^T){)}^{\perp }$, тобто, нульпростір є ортогональним доповненням простору рядків.
• В ${ℝ}^m\ker (A^T)=(\mathrm{i}\mathrm{m}(A){)}^{\perp }$, тобто, лівий нульпростір є ортогональним доповненням простору стовпців.

Див. також

• Проєкційна матриця

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра