Альтернатива Фредгольма

Альтернатива Фредгольма — сукупність теорем Фредгольма про розв'язання інтегрального рівняння Фредгольма другого роду.

Наводяться різні формулювання альтернативи. У деяких джерелах під альтернативою Фредгольма розуміють лише першу теорему Фредгольма, яка стверджує, що або неоднорідне рівняння має розв'язок за будь-якого вільного члена, або спряжене (союзне) рівняння має нетривіальний розв'язокШаблон:Sfn. Альтернатива Фредгольма для інтегральних рівнянь є узагальненням на нескінченновимірний випадок аналогічних теорем у скінченному просторі (для систем лінійних алгебричних рівнянь). Шаблон:Нп узагальнив її на лінійні операторні рівняння з цілком неперервними операторами в банахових просторахШаблон:Sfn.

Скінченновимірний простір

Шаблон:Рамка Або рівняння $𝒜z=u$ має розв'язок за будь-якої правої частини $u\in W$, або спряжене до нього рівняння ${𝒜}^{*}w=0$ має нетривіальний розв'язок. Шаблон:/рамкаДоведення

Спосіб 1

Нехай $r=\mathrm{rg}𝒜,m=\dim W$. Можливі два випадки: або $r=m$, або $r<m$. Умова $r=m$ рівносильна умові $\mathrm{im}𝒜=W$ що означає, що рівняння $𝒜z=u$ має розв'язок за будь-якого $u\in W$. При цьому оскільки $\mathrm{rg}𝒜=\mathrm{rg}{𝒜}^{*}$, то $\ker {𝒜}^{*}=0$, і отже, рівняння ${𝒜}^{*}w=0$ не має ненульового рішення. Умова $r<m$ рівносильна умові $\dim (\ker {𝒜}^{*})>0$ що означає існування ненульового вектора $w\in \ker {𝒜}^{*}$, тобто ненульового розв'язку ${𝒜}^{*}w=0$. При цьому $\mathrm{im}𝒜\ne W$ і рівняння $𝒜z=u$ має розв'язок не для будь-якого $u\in W$.

Спосіб 2

1. Нехай система (1), тобто $A\cdot X=B$, має розв'язок за будь-якого $B$. В цьому випадку $\mathrm{rg}A=m$, тому що інакше за деякого $B$ $\mathrm{rg}A$ виявився б меншим за ранг розширеної матриці і система (1) була б несумісною в силу теореми Кронекера — Капеллі. Оскільки $\mathrm{rg}{A}^T=\mathrm{rg}A$, то в цих умовах $\mathrm{rg}{A}^T=m$, тобто дорівнює числу невідомих у системі (2) і ця система має лише тривіальний розв'язок.
2. Нехай тепер система $A\cdot X=B$ за деякого $B$ несумісна. Отже $\mathrm{rg}A<m$, значить і $\mathrm{rg}{A}^T<m$, тобто ранг матриці системи (2) менший від числа невідомих і ця система має ненульовий розв'язок.

У доведенні використано позначення: $\mathrm{rg}A$ — ранг матриці $A$, $\dim W$ — розмірність простору $W$, $\mathrm{im}𝒜$ — образ оператора $𝒜$, $\mathrm{def}𝒜$ — дефект оператора $𝒜$, $\ker 𝒜$ — ядро оператора $𝒜$, $A^T$ — транспонована матриця.

Альтернатива Фредгольма для лінійного оператора $𝒜$, що діє в одному просторі $V$, означає, що або основне рівняння має єдиний розв'язок за будь-якого $u\in V$, або спряжене до нього однорідне рівняння має нетривіальнИЙ розв'язокШаблон:Sfn.

Інтегральні рівняння

Формулювання

Альтернативу Фредгольма формулюють для інтегрального рівняння Фредгольма

$\phi (x)=\lambda \underset{0}{\overset{a}{\int }}K(x,y)\phi (y)dy+f(x)(1)$

з неперервним ядром $K(x,y)$ та союзного до нього рівняння

$\psi (x)=\overline{\lambda }\underset{0}{\overset{a}{\int }}{K}^{*}(x,y)\psi (y)dy+g(x),(1^{\prime })$

$K^{*}(x,y)=\overline{K(y,x)}$. Однорідне рівняння — це рівняння з нульовим вільним членом f або g.

Формулювання 1. Якщо інтегральне рівняння (1) з неперервним ядром можна розв'язати $C[0,a]$ за будь-якого вільного члена $f\in C[0,a]$, то і союзне до нього рівняння (1') можна розв'язати $C[0,a]$ за будь-якого вільного члена $g\in C[0,a]$, причому ці розв'язки єдині (перша теорема Фредгольма).

Якщо інтегральне рівняння (1) розв'язне в C[0, a] не за будь-якого вільного члена $f$, то:

1) однорідні рівняння (1) і (1') мають однакове (скінченне) число лінійно незалежних розв'язків (друга теорема Фредгольма);

2) для розв'язності рівняння (1) необхідно і достатньо, щоб вільний член $f$ був ортогональним до всіх розв'язків союзного однорідного рівняння (1') (третя теорема Фредгольма)Шаблон:Sfn.

Формулювання 2. Якщо однорідне інтегральне рівняння Фредгольма має лише тривіальний розв'язок, то відповідне неоднорідне рівняння має один і лише один розв'язок. Якщо однорідне рівняння має деякий нетривіальний розв'язок, то неоднорідне інтегральне рівняння або зовсім не має розв'язку, або має нескінченну кількість розв'язків залежно від заданої функції $f(x)$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Ідея доведення

Вироджене ядро

Інтегральне рівняння Фредгольма (1) з виродженим ядром вигляду

$K(x,y)=\sum _{i=1}^N{f}_i(x)g_i(y)$

можна переписати у вигляді

$\phi (x)=\lambda \sum _{i=1}^N{c}_i{f}_i(x)+f(x),$

де

$c_i=\underset{0}{\overset{a}{\int }}\phi (y)g_i(y)dy$

— невідомі числа. Помноживши отриману рівність на $g_k(x)$ та проінтегрувавши за відрізком $[0,a]$, рівняння з виродженим ядром зведемо до еквівалентної йому системи лінійних алгебричних рівнянь відносно невідомих $(c_1,c_2,\dots ,c_N)$:

$c_k=\lambda \sum _{i=1}^N{\alpha }_{ki}{c}_i+a_k,$

де

${\alpha }_{ki}=\underset{0}{\overset{a}{\int }}{g}_k(x)f_i(x)dx,a_k=\underset{0}{\overset{a}{\int }}{g}_k(x)f(x)dx.$

Тому альтернатива Фредгольма безпосередньо випливає зі скінченновимірного випадкуШаблон:Sfn.

Довільне неперервне ядро

У загальному випадку доведення альтернативи Фредгольма для інтегральних рівнянь ґрунтується на поданні довільного неперервного ядра як

$K(x,y)=P(x,y)+Q(x,y),$

де $P(x,y)$ — вироджене ядро (многочлен) і $Q(x,y)$ — мале неперервне ядро, $|Q(x,y)|<\epsilon ,0\le x\le a$. Тоді рівняння (1) набуває вигляду

$\phi =\lambda P\phi +\lambda Q\phi +f,$

де $P$ і $Q$ — інтегральні оператори з ядрами $P(x,y)$ і $Q(x,y)$ відповідно.

Введемо невідому функцію $\mathrm{\Phi }(x)$ за формулою

$\mathrm{\Phi }=\phi -\lambda Q\phi$.

При $|\lambda |<\frac{1}{\epsilon a}$ функція $\phi$ однозначно виражається через $\mathrm{\Phi }$ за формулою

$\phi =(I-\lambda Q{)}^{-1}\mathrm{\Phi }=(I+\lambda R)\mathrm{\Phi },$

де $I$ — одиничний оператор, $R$ — інтегральний оператор з ядром $R(x,y,\lambda )$ — резольвентою ядра $Q(x,y)$. Тоді початкове рівняння набуває вигляду

$\mathrm{\Phi }=\lambda T\mathrm{\Phi }+f,$

де

$T=P+\lambda PR$

- Інтегральний оператор із виродженим ядром

$T(x,y,\lambda )=P(x,y)+\lambda \underset{0}{\overset{a}{\int }}P(x,\xi )R(\xi ,y,\lambda )d\xi ,$

аналітичним за $\lambda$ у крузі $|\lambda |<\frac{1}{\epsilon a}$. Аналогічно союзне інтегральне рівняння (1') зводиться до вигляду

$\psi =\overline{\lambda }{T}^{*}\psi +g_1.$

Таким чином, рівняння (1) та (1') еквівалентні у крузі $|\lambda |<\frac{1}{\epsilon a}$ рівнянням із виродженими ядрами, що дозволяє вивести альтернативу Фредгольма для загального випадкуШаблон:Sfn.

Наслідки

• Множина характеристичних чисел неперервного ядра не має скінченних граничних точок і, отже, лише зліченна. Справді, у кожному крузі $|\lambda |<\frac{1}{\epsilon a}$ характеристичні числа ядра $K(x,y)$ збігаються з характеристичними числами виродженого ядра, які є нулями аналітичної функції.
• Кожне характеристичне число має скінченну кратність (число лінійно незалежних власних функцій), що випливає з другої теореми Фредгольма. Характеристичні числа можна пронумерувати в порядку зростання їх модулів:

$|{\lambda }_1|\le |{\lambda }_2|\le \dots ,$

повторюючи в цій послідовності ${\lambda }_k$ стільки разів, яка його кратність.

• Якщо ${\lambda }_0$ — характеристичне число ядра $K(x,y)$, то ${\overline{\lambda }}_0$ — характеристичне число ядра $K^{*}(x,y)$, причому вони мають однакову кратність.
• Власні функції ${\phi }_k$ і ${\psi }_i$ ядер $K(x,y)$ і $K^{*}(x,y)$, що відповідають характеристичним числам ${\lambda }_k$ і ${\overline{\lambda }}_i$ відповідно, причому ${\lambda }_k\ne {\lambda }_i$, ортогональні: $({\phi }_k,{\psi }_i)=0$.

Використовуючи ці властивості, можна переформулювати альтернативу Фредгольма в термінах характеристичних чисел та власних функцій:

• Якщо $\lambda \ne {\lambda }_k,k=1,2,\dots$, то інтегральні рівняння (1) і (1') однозначно розв'язні за будь-яких вільних членів.
• Якщо $\lambda ={\lambda }_k$, то однорідні рівняння

$\phi ={\lambda }_{k}K\phi ,\psi ={\overline{\lambda }}_k{K}^{*}\psi ,$

мають однакове (скінченне) число

$r_k\ge 1$

лінійно незалежних розв'язків — власних функцій

${\phi }_k,{\phi }_{k+1},\dots ,{\phi }_{k+r_k-1}$

ядра

$K(x,y)$

та власних функцій

${\psi }_k,{\psi }_{k+1},\dots ,{\psi }_{r_k-1}$

ядра

$K^{*}(x,y)$

.

• Якщо $\lambda ={\lambda }_k$, то для розв'язності рівняння (1) необхідно і достатньо, щоб

$(f,{\psi }_{k+i})=0,i=0,1,r_k-1.$Шаблон:Sfn

Банахів простір

Дано рівняння

$Ax-x=y,(2)$

$A^{*}f-f=g,(2^{\prime })$

де $A$ — цілком неперервний оператор, що діє в банаховому просторі $E$, а $A^{*}$ — спряжений оператор, що діє у спряженому просторі $E^{*}$. Тоді або рівняння (2) і (2') розв'язні за будь-яких правих частинах, і в цьому випадку однорідні рівняння

$Ax-x=0$

$A^{*}f-f=0$

мають лише нульові розв'язки, або однорідні рівняння мають однакову кількість лінійно незалежних розв'язків

$x_1,x_2,\dots ,x_n;f_1,f_2,\dots ,f_n;$

у цьому випадку, щоб рівняння (2) (відповідно (2')) мало розв'язок, необхідно і достатньо, щоб

$f_i(y)=0,i=1,2,\dots ,n$

(відповідно $g(x_i)=0,i=1,2,\dots ,n$)Шаблон:Sfn.

Застосування до розв'язання крайових задач для еліптичних рівнянь

Шаблон:Див. також Метод Неймана розв'язання задачі Діріхле

$\mathrm{\Delta }u(x)=0,x\in G,u(s)=g(s),s\in C$

полягає в тому, що розв'язок $u$ шукають у вигляді

$u(x)=\underset{C}{\int }\mu (t)\frac{\partial }{\partial n_t}\log \frac{1}{r_{xt}}dt,$

тобто у вигляді потенціалу подвійного шару. Тут $G$ — плоска ділянка, $C$ — замкнута крива, що обмежує її і має неперервну кривину, $r_{xt}$ — відстань від точки $x$ до точки $t$ на контурі $S$, $n_t$ — внутрішня нормаль до $C$ у точці $t$. Функція $\mu$ має задовольняти інтегральне рівняння

$\frac{1}{\pi }g(s)=\mu (s)+\underset{C}{\int }K(s,t)\mu (t)dt$

з неперервним ядром

$K(s,t)=\frac{1}{\pi }\frac{\partial }{\partial n_t}\log \frac{1}{r_{xt}}dt.$

Згідно з альтернативою Фредгольма, або це неоднорідне рівняння має розв'язок $\mu (s)$ за будь-якого вибору неперервної функції $g(s)$, або однорідне рівняння

$\nu (s)+\underset{C}{\int }K(s,t)\mu (t)dt=0$

допускає ненульовий розв'язок $\nu (s)$. Останнє неможливе, це можна показати за допомогою принципу максимуму для гармонічних функцій. Отже, внутрішня задача Діріхле має розв'язок за будь-яких неперервних граничних значень $g(s)$. Аналогічні результати отримано для зовнішньої задачі Діріхле, а також для задачі НейманаШаблон:Sfn.

Див. також

• Інтегральне рівняння
• Теорія Фредгольма
• Цілком неперервний оператор
• Ядро інтегрального оператора

Література

Скінченновимірний простір

• Шаблон:Книга

Інтегральні рівняння

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Банахів простір

• Шаблон:Книга