Теорема Кронекера — Капеллі

Теорема Кронекера — Капеллі — критерій сумісності системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

$A𝐱=𝐛.$

СЛАР має розв'язки тоді й лише тоді, коли ранг її матриці $A$ дорівнює рангу її розширеної матриці $B=[A|𝐛].$

• Система має єдиний розв'язок, якщо ранг дорівнює кількості невідомих,
• і нескінченно багато розв'язків, якщо ранг менший кількості невідомих.

Необхідність

Нехай СЛАР сумісна, тоді існує розв'язок: $x_1,\dots ,x_n$ такий, що $𝐛=x_1{a}_1+\dots +x_n{a}_n.$

Тобто, стовпець $𝐛$ є лінійною комбінацією стовпців матриці $A.$

Отже $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}B.$

Достатність

Нехай $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}B=r.$ Візьмемо у матриці $A$ будь-який базисний мінор.

Так як $\mathrm{rang}B=r$, то він буде базисним мінором і для матриці $B.$

Тоді згідно з теоремою про базисний мінор, останній стовпець матриці $B$ буде лінійною комбінацією базисних стовпчиків, тобто стовпців матриці $A.$

Отже, стовпець вільних членів системи є лінійною комбінацією стовпців матриці $A,$ коефіцієнти такої лінійної комбінації і будуть розв'язком СЛАР.

Див. також

• Метод Крамера
• Метод Гауса
• Список об'єктів, названих на честь Леопольда Кронекера
• Список об'єктів, названих на честь Альфредо Капеллі

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Ланкастер.Теорія матриць
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра
• Шаблон:Клепко ВМ