Теорема про базисний мінор

Теорема про базисний мінор

1. Рядки ненульової матриці $A$ (існує не нульовий елемент) на яких будується її базисний мінор ${\mathrm{\Delta }}_r$ є лінійно незалежними.
2. Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.

Доведення

1. Якби базисні рядки були лінійно залежними то з допомогою еквівалентних перетворень можна було б одержати нульовий рядок, що суперечить тому, що базовий мінор не дорівнює нулю.
2. За допомогою довільного не базисного рядка (нехай його номер $k$) та довільного стовбця матриці (нехай його номер $j$) утворимо оточуючий мінор для базисного. Він буде дорівнювати нулю. Розклавши його $j$-му стовпцю (теорема Лапласа), отримаємо:

$a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\dots +a_{rj}{A}_{rj}+a_{kj}{A}_{kj}=0$

оскільки алгебраїчне доповнення $A_{kj}$ рівне нашому базовому мінору ${\mathrm{\Delta }}_r$ з точністю до знака, отже $A_{kj}\ne 0,$ тому розділимо весь вираз на нього:

$a_{kj}={\lambda }_1{a}_{1j}+{\lambda }_2{a}_{2j}+\dots +{\lambda }_r{a}_{rj},{\lambda }_j=-\frac{A_{ij}}{A_{kj}},\mathrm{\forall }j\in [1,r].$

Отже $k$-ий рядок є лінійною комбінацією базових рядків з коефіцієнтами ${\lambda }_j$.

Див. також

• Теорія матриць
• Матриця (математика)
• Визначник
• Ранг матриці
• Теорема Лапласа — розклад визначника по рядку (стовпцю)

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Ланкастер.Теорія матриць
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра