Теорема Лапласа

Теоре́ма Лапла́са (розклад Лапласа) — одна з теорем в теорії матриць. Названа на честь французького математика П'єра-Симона Лапласа, якому приписують доведення цієї теореми в 1772 році, хоча окремий випадок цієї теореми про розкладання визначника по рядку (стовпцю) був відомий ще Лейбніцу.

Теорема

Нехай $A=(a_{ij})$ — квадратна матриця розміру $n\times n,$ в якій вибрано довільні $k$ рядків.

Тоді визначник матриці $A$ рівний сумі всіляких добутків мінорів $k$-го порядку, розташованих в цих рядках, на їх алгебраїчні доповнення.

$\det A=\sum _{j_1<\dots <j_k}{M}_{j_1,\dots ,j_k}^{i_1,\dots ,i_k}{A}_{j_1,\dots ,j_k}^{i_1,\dots ,i_k},$

де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців $j_1,\dots ,j_k.$

Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати $k$ стовпців з $n$, тобто біноміальному коефіцієнту $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$.

Оскільки рядки і стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і для стовпців матриці.

Дана теорема має наступні застосування.

Розклад визначника по рядку (стовпцю)

Широко відомий окремий випадок теореми Лапласа — розкладання визначника по рядку або стовпцю. Він дозволяє представити визначник квадратної матриці у вигляді суми добутків елементів будь-якого її рядка або стовпця на їх алгебраїчне доповнення.

Нехай $A=(a_{ij})$ — квадратна матриця розміру $n\times n$. Нехай також заданий деякий номер її рядка $i$ або номер її стовпця $j.$ При $k=1$ мінорами будуть самі елементи цього рядка чи стовпця.

Визначник $A$ може бути обчислений за формулами:

Розклад по $i$-му рядку:

$\det A=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}$

Розклад по $j$-му стовпцю:

$\det A=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}$

де $A_{ij}$ — алгебраїчне доповнення до елемента, розташованого в рядку з номером $i$ та стовпці з номером $j$.

Фальшивий розклад

Сума добутків усіх елементів деякого рядка (стовпця) матриці А на алгебраїчні доповнення відповідних елементів будь-якого іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

$i\ne k\Rightarrow \sum _{j=1}^n{a}_{kj}{A}_{ij}=0$

$j\ne k\Rightarrow \sum _{i=1}^n{a}_{ik}{A}_{ij}=0$

Приклади

Розглянемо матрицю:

$B=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 9& 10\end{array}\right].$

Визначник матриці обчислимо за допомогою розкладу Лапласа по першому рядку:

$|B|=1\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 6\\ 9& 10\end{array}\right|-2\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 10\end{array}\right|+3\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 9\end{array}\right|$

$=1\cdot (-4)-2\cdot (-2)+3\cdot 1=3.$

Застосувавши розклад Лапласа по другому стовпцю отримаємо той самий результат:

$|B|=-2\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 10\end{array}\right|+5\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 10\end{array}\right|-9\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 6\end{array}\right|$

$=-2\cdot (-2)+5\cdot (-11)-9\cdot (-6)=3.$

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь П'єра-Симона Лапласа

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць