Спряжений оператор

Спря́жений оператор — одне з важливих понять в функціональному аналізі.

Означення

Нехай  $A:E_1\to E_2$ — лінійний неперервний оператор, що відображає нормований простір $E_1$ в нормований простір $E_2$. Тоді спряженим оператором оператору $A$ називається таке відображення $A^{\ast }:E_2^{\ast }\to E_1^{\ast }$ спряжених просторів, що діє згідно з правилом:

$(A^{\ast }f)(x)=f(Ax)(\mathrm{\forall }f\in E_2^{\ast },\mathrm{\forall }x\in E_1).$

Рівності можна надати більш виразної форми, якщо значення $\varphi (x)$ функціонала $\varphi \in E^{\ast }$ на елементі $x\in E$ записувати у вигляді $⟨x,\varphi ⟩$. Тоді спряжений оператор $A^{\ast }$ визначається рівністю

$⟨x,A^{\ast }f⟩=⟨Ax,f⟩(\mathrm{\forall }f\in E_2^{\ast },\mathrm{\forall }x\in E_1).$

Гільбертів простір

Відмітимо, що, згідно з теоремою Ріса про загальний вигляд лінійного неперервного функціоналу, заданого на гільбертовому просторі $H$, оператор $A^{\ast }:H\to H$, спряжений до лінійного неперервного оператора $A:H\to H$, визначається за допомогою рівності

$(x,A^{\ast }y)=(Ax,y)(\mathrm{\forall }x,y\in H),$

що збігається в такому випадку з рівністю, якою визначається спряжений оператор.

В гільбертовому просторі найцікавішими є ті оператори, що рівні своїм спряженим: $A^{\ast }=A$, так звані самоспряжені оператори. Таким чином, оператор $A\in ℒ(H)$ називається самоспряженим, якщо $(Ax,y)=(x,Ay)$ для довільних елементів $x$ і $y$ гільбертового простору $H$. Для самоспряженого оператора $A:H\to H$ справедлива рівність $\Vert A\Vert =\underset{\Vert x\Vert \le 1}{\sup }|(Ax,x)|$.

Джерела

• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра
• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць