Резольвента інтегрального рівняння

Розглянемо інтегральне рівняння:

$f(s)+\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(s,t)\phi (t)dt=\phi (s).(*)$

Резольвентою інтегрального рівняння, або його розв'язним ядром називають таку функцію $\mathrm{\Gamma }(s,t,\lambda )$ змінних $s$, $t$ і параметра $\lambda$, що розв'язок рівняння (*) подається у вигляді:

$u^{*}(s)=f(s)+\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}\mathrm{\Gamma }(s,t,\lambda )f(t)dt.$

При цьому $\lambda$ не повинна бути власним числом рівняння (*).

Приклад

Нехай рівняння (*) має ядро $K(s,t)=s+t$, тобто саме рівняння має вигляд:

$\phi (s)+\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}(s+t)\phi (t)dt=f(s).$

Тоді його резольвентою є функція

$\mathrm{\Gamma }(s,t,\lambda )=\frac{s+t-\lambda (\frac{s+t}{2}-st-\frac{1}{3})}{1-\lambda -\frac{{\lambda }^2}{12}}.$

Резольвента лінійного оператора

Нехай $A$ — лінійний оператор. Тоді його резольвентою називають операторнозначну функцію

$R(z)=(A-zE{)}^{-1}$,

де $E$ — тотожний оператор, а $z$ — комплексне число, з резольвентної множини, тобто такої множини, що $R(z)$ є обмеженим оператором.

Це поняття використовується для розв'язування неоднорідного рівняння Фредгольма другого роду.

Див. також

• Спектр оператора
• Резольвента алгебричного рівняння

Джерела

• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1