Інтегральне рівняння

Інтегральним є рівняння, яке містить інтеграл, підінтегральний вираз якого включає в себе невідому функцію $f(x).$

Визначення

Інтегральним є рівняння, яке містить інтеграл, підінтегральний вираз якого включає в себе невідому функцію $f(x).$ Нехай $F(x)$ та $K(x,y)$ - відомі функції. Інтегральні рівняння мають вигляд

$F(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,y)f(y)dy;$

або

$f(x)=\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,y)f(y)dy,$

де $\lambda \in (ℂ\vee ℝ)$ - чисельний множник. Функція $K(x,y)$ під інтегралом називається ядром інтегрального рівняння і повинна бути визначена у прямокутнику $a\le x\le b,a\le y\le b.$ Функції $F(x)$ та $f(x)$ повинні бути визначені у інтервалі $a\le x\le b.$

Інтегральне рівняння є лінійним, якщо невідома функція входить до нього лінійно. Обидва вищенаведені рівняння є лінійними. Якщо обидві границі інтегрування сталі, то рівняння називається інтегральним рівнянням Фредгольма. Рівняння, до якого невідома функція входить лише під знаком інтегралу, визначають як інтегральне рівняння першого роду. Перше з вищенаведених рівнянь є інтегральним рівнянням першого роду. Інтегральне рівняння другого роду - це рівняння, у якому невідома функція присутня як під знаком інтегралу, так і поза ним; друге з вищенаведених рівнянь - приклад такого рівняння.

Якщо рівняння таке, що кожний член містить невідому функцію, то воно представляє собою однорідне інтегральне рівняння. Якщо у рівняння входить член, який не містить невідому функцію, то воно є неоднорідним. Друге з вищенаведених рівнянь є прикладом однорідного рівняння Фредгольма другого роду.

Рішення інтегрального рівняння базується на оберненні першого лінійного інтегрального виразу з метою віднаходження $f(y)$ або на відшуканні функції $f(x)$, яка входить у друге рівняння.

Важливим рівнянням серед рівнянь першого роду є інтегральне рівняння Фур'є:

$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(y)\exp (-ixy)dy.$

Ядром цього рівняння є $(1/\sqrt{2\pi })\exp (-ixy).$

Власні функції однорідного інтегрального рівняння із симетричним ядром є ортогональними. Це значить, що

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_n(x)f_m(x)dx=0,n\ne m,$

де

$f_n(x){\lambda }_n\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,y)f_n(y)dy,$

$f_m(x){\lambda }_m\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,y)f_m(y)dy.$

Нехай ${\lambda }_m\ne {\lambda }_n$, помножимо ${\lambda }_m{f}_m\cdot f_n(x)$ та ${\lambda }_n{f}_n\cdot f_m(x),$ віднімемо одну рівність від іншої. Після інтегрування знаходимо

$({\lambda }_m-{\lambda }_n)\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_n(x)f_m(x)dx={\lambda }_n{\lambda }_m\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{a}{\overset{b}{\int }}[K(x,y)f_n(y)f_m(x)-K(x,y)f_m(x)f_n(x)]dydx.$

Перша частина цієї рівності дорівнює нулю (якщо переставити змінні інтегрування у другій частині подвійного інтегралу із врахуванням того, що $K(x,y)=K(y,x)$). Оскільки ${\lambda }_m\ne {\lambda }_n$, то власні функції є ортогональними.

Основні види інтегральних рівнянь

Лінійні рівняння

Найпростішим типом рівнянь є рівняння Фредгольма першого роду:

$f(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,t)\phi (t)dt.$

де φ є невідомою функцією, f є деякою даною функцією, K є відомою функцією двох змінних, що називається ядром рівняння.

Якщо невідома функція знаходиться як під знаком інтеграла так і за його межами, то таке рівняння називається рівняням Фредгольма другого роду:

$\phi (x)=f(x)+\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,t)\phi (t)dt.$

Де параметр λ є невідомим і відіграє ту ж роль, що власне значення у лінійній алгебрі.

Якщо межі інтегрування самі є змінними то таке інтегральне рівняння називається рівнянням Вольтерра. Відповідно рівняння Вольтерра першого і другого роду мають вигляд:

$f(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}K(x,t)\phi (t)dt$

$\phi (x)=f(x)+\lambda \underset{a}{\overset{x}{\int }}K(x,t)\phi (t)dt.$

В усіх поданих вище рівняннях якщо функція f всюди рівна нулю то рівняння називається однорідним. В іншому випадку  — неоднорідним.

Нелінійні рівняння

Рівняння Урисона

$\phi (x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,s,\phi (s))ds,K(x,s,\phi )\in C(a⩽x,s⩽b;-M⩽\phi ⩽M).$

Стала $M$  — деяке додатне число, яке не завжди наперед можна визначити.

Рівняння Гаммерштейна

Рівняння Гаммерштейна є частковим випадком рівнянь Урисона:

$\phi (x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,s)F(s,\phi (s))ds,$

де $K(x,s)$ — ядро Фредгольма.

Рівняння Ляпунова — Ліхтенштейна

Рівняння Ляпунова — Ліхтенштейна  — рівняння з суттєво нелінійними операторами, наприклад:

$\phi (x)=f(x)+\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}{K}_{[1]}(x,s)\phi (s)ds+\mu \underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{K}_{[1,1]}(x,s,z)\phi (x)\phi (z)dsdz+\dots$

Нелінійне Рівняння Вольтерра

$\phi (x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}F(x,s,\phi (s))ds,$

де функція $F(x,s,\phi )$ неперервна за всіма своїми змінними.

Див. також

• Теорія_Фредгольма

Література

• М. Л. Краснов. Интегральные уравнения: введение в теорию. — М.: Наука, 1975.
• В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5
• Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.

Посилання

• ІНТЕГРА́ЛЬНІ РІВНЯ́ННЯ Шаблон:Webarchive //ЕСУ