Характеристичне число (інтегральні рівняння)

Характеристичне число ядра інтегрального рівняння — комплексне значення $\lambda$, за якого однорідне інтегральне рівняння Фредгольма другого роду

$\phi (x)=\lambda \underset{G}{\int }K(x,y)\phi (y)dy$

має нетривіальний (тобто не рівний тотожно нулю) розв'язок $\phi (x)$, називаний власною функцією. Тут $G$ — ділянка в ${ℝ}^n$, $K(x,y)$ — ядро інтегрального рівняння. Характеристичні числа — це величини, обернені власним значенням інтегрального оператора з ядром $K(x,y)$Шаблон:Sfn. Значення $\lambda$, які не є характеристичними числами, називають регулярними. Якщо $\lambda$ — регулярне значення, інтегральне рівняння Фредгольма другого роду

$\phi (x)=\lambda \underset{G}{\int }K(x,y)\phi (y)dy+f(x)$

має єдиний розв'язок за будь-якого вільного члена $f(x)$; характеристичні числа — це «особливі точки», в яких розв'язок не існує або існує безліч розв'язків, залежно від вільного члена $f(x)$Шаблон:Sfn.

Властивості

Характеристичні числа неперервного ядра мають такі властивості:

• Множина характеристичних чисел зліченна і не має скінченних граничних точок.
• Кратністю характеристичного числа називають кількість відповідних йому лінійно незалежних власних функцій. Кратність кожного характеристичного числа є скінченною.
• З перших двох властивостей випливає, що характеристичні числа можна пронумерувати в порядку зростання їх модуля:

$|{\lambda }_1|\le |{\lambda }_2|\le \dots ,$

повторюючи при цьому число ${\lambda }_k$ стільки разів, яка його кратність.

• ${\overline{\lambda }}_1,{\overline{\lambda }}_2,\dots$ — всі характеристичні числа союзного ядра $K^{*}(x,y)=\overline{K(y,x)}$.
• Якщо ${\lambda }_k\ne {\lambda }_i$ і ${\phi }_k={\lambda }_{k}K{\phi }_k$, ${\psi }_i={\overline{\lambda }}_i{K}^{*}{\psi }_i$, тобто ${\phi }_k$ і ${\psi }_i$ — власні функції ядер $K(x,y)$ і $K^{*}(x,y)$ відповідно, то $({\phi }_k,{\psi }_i)=0$ — власні функції ортогональні в просторі $L_2(G)$.
• Повторне ядро $K_p(x,y)$ має характеристичні числа ${\lambda }_k^p$ і ті самі власні функції ${\phi }_k$, що й ядро $K(x,y)$.
• Навпаки, якщо $\mu$ і $\phi$ — характеристичне число та відповідна власна функція повторного ядра $K_p(x,y)$, то принаймні один із коренів ${\lambda }_j,j=1,2,\dots ,p,$ рівняння ${\lambda }^p=\mu$ є характеристичне число ядра $K(x,y)$Шаблон:Sfn.
• Множина характеристичних чисел ермітового неперервного ядра не порожня і розташована на дійсній осі, систему власних функцій можна обрати ортонормованоюШаблон:Sfn.
• Характеристичні числа збігаються з полюсами резольвентиШаблон:Sfn.
• Вироджене ядро має скінченне число характеристичних чиселШаблон:Sfn.
• Неперервне ядро Вольтерри не має характеристичних чиселШаблон:Sfn.

Див. також

• Інтегральне рівняння Фредгольма
• Інтегральний оператор Фредгольма
• Ядро інтегрального оператора
• Резольвента інтегрального рівняння
• Альтернатива Фредгольма
• Власні вектори та власні значення

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга