Словник термінів теорії груп

Шаблон:Теорія груп Для загального ознайомлення з теорією груп див. Група (математика) і Теорія груп.

Курсив позначає посилання на цей словник.

P

P-група — група, всі елементи якої мають порядок, рівний деякому степеню простого числа $p$ (не обов'язково однаковому в усіх елементів). Також говорять про примарну групу.

А

Абелева група — комутативна група.

Абелізація групи G — фактор-група G/[G,G]

Адитивна група кільця — група, елементами якої є всі елементи даного кільця, а операція збігається з операцією додавання в кільці.

Антигомоморфізм груп — відображення груп $f : (G, *) \to (H, \times)$ таке, що

f (a * b) = f (b) \times f (a)

для довільних a і b в G (порівняйте з гомоморфізмом).

Абсолютно регулярна p-група — скінченна p-група, в якій $| G : p G | < p^{p}$ , де $p G$ — підгрупа $G$ , утворена p-ми степенями її елементів.

В

Вільна група, породжена множиною $A$ — група, породжена елементами цієї множини, що не має жодних співвідношень, крім співвідношень, що визначають групу. Всі вільні групи, породжені равнопотужними множинами, ізоморфні.

Г

Головний ряд підгруп - ряд підгруп, в якому $G_{i}$ — максимальна нормальна в $G$ підгрупа з $G_{i + 1}$ , для всіх членів ряду.

Гомоморфізм груп — відображення груп $f : (G, *) \to (H, \times)$ таке, що

F (a * b) = f (a) \times f (b)

для довільних a і b в G.

Група Шмідта — це ненільпотентна група, всі власні підгрупи якої нільпотентні.

Група Міллера — Морено — це неабелева група, всі власні підгрупи якої абелеві.

Групова алгебра групи G над полем K — це векторний простір над K, твірними якого є елементи G, а множення відповідає множенню елементів G.

Д

Дія групи

Довжина ряду підгруп — число $n$ у визначенні ряду підгруп.

Е

Експонента $\exp (G)$ скінченної групи $G$ — числова характеристика групи, рівна найменшому спільному кратному порядків всіх елементів групи $G$ .

Елементарна група - група, яка є скінченною або абелевою, або одержується зі скінченних та абелевих груп послідовністю операцій взяття підгруп, епіморфних образів, прямих меж і розширень.

І

Ізоморфізм груп — бієктивний гомоморфізм.

Ізоморфні групи — групи, між якими існує хоча б один ізоморфізм.

Індекс підгрупи H у групі G — число суміжних класів в кожному (правому або лівому) з розкладів групи G за цією підгрупою H.

Індекси ряду підгруп — індекси $| G_{i + 1} : G_{i} |$ у визначенні субнормального ряду підгруп.

К

Клас суміжності/суміжний клас (лівий або правий) підгрупи H в G. Лівий клас суміжності елемента $g \in G$ по підгрупі H в G це множина

g H = {g h | h \in H} .

Аналогічно визначається правий клас суміжності:

H g = {h g | h \in H} .

Клас спряженості елемента $g \in G$ це множина

{h g h^{- 1} | h \in G} .

Комутантом групи є підгрупа, породжена всіма комутаторами групи, зазвичай позначається [G, G] або $G^{'}$ .

Комутативна група Група G є комутативною, або абелевою, якщо її операція * комутативна, тобто g*h=h*g $\forall g, h \in G$ .

Комутатор елементів g і h є елемент [g, h] = ghg^-1h^-1. Елементи g і h називають комутуючими, якщо їх комутатор дорівнює одиничному елементу групи (таке відбувається коли $g h = h g$ ).

Комутатор підгруп — множина всіляких добутків ${[g, h] | g \in G, h \in H}$ .

Композиційний ряд групиG-ряд підгруп, в якому всі фактори $G_{i + 1} / G_{i}$ —прості групи.

Кручення, TorG, комутативної або нільпотентної групи G — підгрупа всіх елементів скінченного порядку.

Л

Локальна властивість групи $G$ . Кажуть, що група $G$ має локальним властивістю $P$ , якщо будь-яка звичайно породжена підгрупа з $G$ володіє цією властивістю. Прикладами можуть служити локальна кінцівку, локальна нільпотентності.

Локальна теорема. Кажуть, що для деякої властивості $P$ груп справедлива локальна теорема, якщо будь-яка група,локально володіє цією властивістю, сама має їм.

Наприклад: локально абелева група є абелевої, але локально кінцева група може бути нескінченною.

Локально скінченна група — група, яка певним чином (як індуктивна границя) будується зі скінченних груп.

М

Метабелева група — група, другий комутант якої тривіальний (розв'язна степеня 2).

Метациклчіна група — група, що має циклічну нормальну підгрупу, факторгрупа по якій також циклічна. Будь-яка скінченна група, порядок якої вільний від квадратів (тобто не ділиться на квадрат будь-якого числа), є метациклічною.

Мінімальна нормальна підгрупа

Мультиплікативна група тіла — група, елементами якої є всі ненульові елементи даного тіла, а операція збігається з операцією множення в тілі.

Н

Напівпрямий добуток груп G і H над гомоморфізмом $ϕ : G \to Aut (H)$ (позначається по різному, в тому числі G⋊ _φH) — множина G × H, наділена операцією *, для якої $(g_{1}, h_{1}) * (g_{2}, h_{2}) = (g_{1} ϕ (h_{1}) (g_{2}), h_{1} h_{2})$ для будь-яких $g_{1}, g_{2} \in G$ , $h_{1}, h_{2} \in H$ .

Нільпотентна група — група, що має центральний ряд підгруп. Мінімальна з довжин таких рядів називається її класом нільпотентності.

Норма групи — сукупність елементів групи, переставних з усіма підгрупами, тобто перетин нормалізаторів всіх її підгруп.

Нормалізатор підгрупи H в G — максимальна підгрупа G, в якій H нормальна. Інакше кажучи, нормалізатор є стабілізатором H при дії G на множині своїх підгруп спряженнями, тобто

N (H) = {g \in G | g H g^{- 1} = H} .

Нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа, нормальний дільник). H є нормальною підгрупою G, якщо для будь-якого елементу g в G gH=Hg, тобто праві і ліві класи суміжності H в G збігаються. Інакше кажучи, якщо $\forall g \in G \forall h \in H g h g^{- 1} \in H$ .

Нормальний ряд підгруп — ряд підгруп, в якому $G_{i}$ нормальна в $G$ , для всіх членів ряду.

П

Переставні елементи — пара елементів $a, b \in G$ такі що $a b = b a$ .

Період групи — найменше спільне кратне порядків елементів даної групи.

Періодична група — група, кожен елемент якої має скінченний порядок.

Підгрупа — підмножина H групи G, яка є групою щодо операції, визначеної в G.

Підгрупа кручення див. кручення.

Для довільної підмножини S в G, <S> позначає найменшу підгрупу G, яка містить S.

Підгрупа Томпсона $J (G)$ групи $G$ — підгрупа, породжена всіма абелевих підгрупами максимального порядку з $G$ .

Підгрупа Фіттінга $F (G)$ групи $G$ — підгрупа, породжена всіма нільпотентними нормальними підгрупами з $G$ .

Підгрупа Фраттіні $ϕ (G)$ групи $G$ — є перетин всіх максимальних підгруп групи $G$ , якщо такі є, та сама група $G$ у противному випадку.

Полінільпотентна група

Порядок групи (G,*) — потужність G (для скінченних груп просто кількість елементів).

Порядок елемента g групи G — мінімальне натуральне число m таке, що g^m = e. У разі, якщо такого m не існує, вважається, що g має нескінченний порядок.

Природний гомоморфізм на фактор-групу за нормальною підгрупою $H$ — це гомоморфізм, що ставить у відповідність кожному елементу $a$ групи суміжний клас $a H$ . Ядром цього гомоморфізму є підгрупа $H$ .

Примарна група — група, всі елементи в якій мають порядок, рівний деякому степеню простого числа $p$ (не обов'язково однакового для всіх елементів). Також говорять про p-групи.

Примарна абелева група

Проста група — група, в якій немає нормальних підгруп, крім тривіальної {e} і всієї групи.

Прямий добуток двох груп (G,·) і (H, •) — множина G×H пар, з операцією покомпонентного множення: (g₁,h₁)(g₂,h₂) = (g₁ · g₂, h ₁ •h₂).

Р

Розширення групи — група, для якої дана група є нормальною підгрупою.

Розв'язна група — група, що володіє нормальним рядом підгруп з абелевими факторами. Найменша з довжин таких рядів називається її степенем розв'язності.

Розв'язний радикал $S (G)$ групи $G$ — підгрупа, породжена всіма розв'язними нормальними підгрупами з $G$ .

Ряд підгруп — скінченна послідовність підгруп $G_{0}, G_{1}, . . ., G_{n}$ називається рядом підгруп, якщо $G_{i} \leq G_{i + 1}$ , для всіх $i \in {0, . . ., n - 1}, G_{0} = 1, G_{n} = G$ . Такий ряд записують у вигляді

1 = G_{0} \leq G_{1} \leq \dots \leq G_{n} = G

або у вигляді

G = G_{n} \geq G_{n - 1} \geq \dots \geq G_{0} = 1

Регулярна p-група — скінченна p-група, для будь-якої пари елементів $x$ і $y$ якої знайдеться елемент $u$ коммутанта підгрупи, породженої цими елементами, такий, що $(x y)^{p} = x^{p} y^{p} u^{p}$ .

С

Надрозв'язна група — група, що має нормальний ряд підгруп з циклічними'факторами.

Скінченна група - група зі скінченним числом елементів.

Скінченна p-група —p-група скінченного порядку $p^{n}$ .

Скінченно задана група (або скінченно певна група) — група, що має скінченну кількість породжуючихі задається за допомогою скінченної кількості співвідношень.

Скінченнопороджена абелева група — абелева група, що має скінченну систему утворюють .

Скінченнопороджена група - група, що має скінченну систему породжувальних.

Підгрупа Силова — $p$ -підгрупа в $G$ , що має порядок $p^{n}$ , де $| G | = p^{n} s$ , НОД $(p, s) = 1$ .

Співвідношення — тотожність, якій задовольняють породжуючі групи (при завданні групи утворюють і співвідношеннями).

Стабілізатор елемента $p$ множини $M$ , на якій діє група $G$ - підгрупа $S t_{G} (p) \subset G$ , всі елементи якої залишають $p$ на місці: $g \cdot p = p$ .

Субнормальний ряд підгруп — ряд підгруп, в якому підгрупа $G_{i}$ нормальна у підгрупі $G_{i + 1}$ , для всіх членів ряду.

Ф

Факторгрупою групиG по нормальній підгрупі H є множина класів суміжності підгрупи H з множенням, визначеним наступним чином:

(a H) * (b H) = (a b) H .

Фактори субнормального ряду - фактор-групи $G_{i + 1} / G_{i}$ у визначеннісубнормального ряду підгруп.

Х

Характеристична підгрупа — підгрупа, інваріантна щодо всіх автоморфізмів групи.

Підгрупа Халловея — підгрупа, порядок якої взаємно простий з її індексом у всій групі.

Ц

Центр групи G, зазвичай позначається Z(G), визначається як

Z (G) = {g \in G | g h = h g \forall h \in G}

,

інакше кажучи, це максимальна підгрупа елементів, комутуючих з кожним елементом G.

Централізатор елемента — максимальна підгрупа, кожен елемент якої комутує з цим елементом.

Центральний ряд підгруп — нормальний ряд підгруп, в якому $G_{i + 1} / G_{i} \subseteq Z (G / G_{i})$ , для всіх членів ряду.

Циклічна група — група, що складається з породжуючого елемента і всіх його цілих степенів. Скінченна у разі, якщо порядок породжуючого елемента скінченний.

Я

Ядро гомоморфізму — прообраз нейтрального елемента при гомоморфізмі. Ядро завжди є нормальною підгрупою, більше того, будь-яка нормальна підгрупа є ядром деякого гомоморфізму.

Джерела

Словник термінів теорії груп

P

А

В

Г

Д

Е

І

К

Л

М

Н

П

Р

С

Ф

Х

Ц

Я

Джерела

Навігаційне меню

Пошук