Локальне кільце

Локальне кільце — кільце з одиницею, що має єдиний максимальний ідеал. Якщо R — комутативне локальне кільце з максимальним ідеалом $𝔪$, то фактор-кільце $R/𝔪$ є полем і називається полем лишків локального кільця R.

Означення

кільце R (асоціативне з одиницею) називається локальним кільцем якщо воно задовольняє одній із еквівалентних умов:

• R має єдиний максимальний лівий ідеал.
• R має єдиний максимальний правий ідеал.
• 1 ≠ 0 і сума двох необоротних елементів у R є необоротним елементом.
• 1 ≠ 0 і для довільного елемента x або x або Шаблон:Nowrap є оборотним елементом.
• Якщо скінченна сума є оборотним елементом, то хоча б один із доданків є оборотним елементом (звідси зокрема 1 ≠ 0).

При виконанні цих умов єдиний максимальний правий ідеал є рівним єдиному максимальному лівому і є рівним радикалу Джекобсона. Для комутативних кілець поняття лівих і правих ідеалів не відрізняються.

Приклади

• Будь-яке поле або кільце нормування є локальним.
• Локальним є також кільце формальних степеневих рядів $k[[X_1,\dots ,X_n]]$ над полем k або над будь-яким локальним кільцем. Навпаки, кільце многочленів $k[X_1,\dots ,X_n]$ не є локальним кільцем.

• Нехай X — топологічний простір (диференційовний многовид, аналітичний простір, або алгебраїчний многовид), а x — точка в X. Нехай R — кільце ростків в точці x неперервних функцій (відповідно диференційовних, аналітичних або регулярних функцій); тоді R — локальне кільце, максимальний ідеал якого складається з ростків функцій, що приймають значення 0 в точці x.

Локалізація

Шаблон:Main До локального кільця приводять деякі загальні конструкції в теорії кілець, найважливішою з яких є локалізація.

Нехай R — комутативне кільце, а $𝔭$ — простий ідеал в R. Кільце $R_{𝔭}$, яке складається з дробів виду $\frac{r}{s}$, де $r\in R,s\in R\setminus 𝔭$, є локальним і називається локалізацією кільця R в $𝔭$. Максимальним ідеалом кільця $R_{𝔭}$ є ідеал $𝔭R_{𝔭}$, а поле лишків $R_{𝔭}$ ототожнюється з полем часток фактор-кільця $R/𝔭,$ що є областю цілісності.

Інші конструкції, що приводять до локального кільця — гензелізація або поповнення кільця щодо деякого максимального ідеалу.

Властивості

Властивість комутативного кільця R (або R-модуля М, або R-алгебри В) називається локальною властивістю, якщо виконання її для R (або М, або В) еквівалентно виконанню її для кілець $R_{𝔭}$ (відповідно модулів $M\underset{R}{⨂}{R}_{𝔭}$ або алгебри $B\underset{R}{⨂}{R}_{𝔭}$) для всіх простих ідеалів $𝔭$ кільця R.

Степені ${𝔪}^n$ максимального ідеалу $𝔪$ комутативного локального кільця R визначають базис околів нуля так званої топології локального кільця (або $𝔪$-адичної топології). Для локального кільця Нетер ця топологія є гаусдорфовою (теорема Круля), а довільний його ідеал є замкнутим.

Будь-яке фактор-кільце локального кільця також є локальним.

Будь-який проективний модуль над локальним кільцем є вільним.

Кільця Нетер

Далі розглядаються тільки нетерові локальні кільця.

• Локальне кільце називається повним локальним кільцем, якщо воно є повним щодо $𝔪$-адичної топології; в цьому випадку $R=\lim R/{𝔪}^n$. У повному локальному кільці $𝔪$-адична топологія є слабшою за будь-яку іншу гаусдорфову топологію (теорема Шевалле).
• Будь-яке повне локальне кільце є фактор-кільцем кільця $S[[X_1,\dots ,X_n]]$ формальних степеневих рядів, де S — поле або повне кільце дискретного нормування.

• Тонше, кількісне дослідження локального кільця R пов'язано із застосуванням поняття приєднаного градуйованого кільця $Gr(R)=\underset{n⩾0}{⨁}({𝔪}^n/{𝔪}^{n+1})$. Нехай $H_R(n)$ — розмірність векторного простору ${𝔪}^n/{𝔪}^{n+1}$ над полем лишків $R/𝔪$; як функція цілого аргументу n вона називається функцією Гільберта — Самюеля (або характеристичною функцією) локального кільця. При великих n ця функція збігається з деяким многочленом ${\overline{H}}_R(n)$ від n, який називається многочленом Гільберта — Самюеля локального кільця R.
• Формальний ряд

$P_R(t)=\sum _{n⩾0}{H}_R(n)\cdot t^n$

є раціональною функцією вигляду $f(t)(1-t{)}^{-d(R)}$ де $f(t)\in \mathbb{Z}[t]$ — многочлен, а d(A)-1 рівне степеню ${\overline{H}}_R$.

• Ціле число d(R) збігається з розмірністю Круля dim R кільця R і є одним з важливих інваріантів кільця.
• d(R) є рівним найменшому числу елементів $r_1,\dots ,r_d\in R$, для яких фактор-кільце $R/(r_1,\dots ,r_d)$ є кільцем Артіна. Якщо ці елементи можна вибрати так, щоб вони породжували максимальний ідеал $𝔪$, то локальне кільце R називається регулярним локальним кільцем.
• Регулярність R еквівалентна тому, що $dim(𝔪/{𝔪}^2)=dimR$.
• Для d-вимірного регулярного кільця R

$H_R(n)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d-1}{d-1})$

Аналогічна теорія будується для напівлокальних кілець, тобто кілець, що мають скінченне число максимальних ідеалів. Роль максимального ідеалу для них при цьому відіграє радикал Джекобсона.

Див. також

• Локалізація кільця
• Регулярне локальне кільце

Посилання

• Regular Local Rings. Шаблон:Webarchive

Література

• Шаблон:Атья.Макдональд.Введение в коммутативную алгебру
• Шаблон:Зарисский.Самюэль.Коммутативная алгебра.том2