Лема Артіна — Ріса

В математиці, лемою Артіна — Ріса називається важливе твердження про властивості модулів над кільцями Нетер. Лема використовується зокрема для доведення теореми Круля про перетини і має важливі застосування в алгебричній геометрії. Названа на честь Еміля Артіна і Девіда Ріса.

Твердження

Нехай I — ідеал в нетеровому кільці R; нехай M — скінченнопороджений модуль над R і N — його підмодуль. Тоді існує ціле число k ≥ 1, що для всіх цілих чисел n ≥ k,

$I^{n}M\cap N=I^{n-k}((I^{k}M)\cap N).$

Доведення

Для довільного кільця R і його ідеалу I, позначимо $B_{I}R={⨁}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{I}^n{X}^n$. Оскільки $I^m{I}^n\subseteq I^{m+n}$ можна розглядати $B_{I}R$ як градуйоване кільце. Якщо позначити $\{a_1,\dots ,a_r\}$ — множину твірних елементів ідеалу I (дана множина є скінченною оскільки R є нетеровим кільцем), то елементи $\{a_{1}X,\dots ,a_{r}X\}$ є породжуючими для $B_{I}R$ як алгебри над R і тому $B_{I}R$ є ізоморфним деякій факторалгебрі многочленів $R[x_1,\dots ,x]$ і згідно теореми Гільберта про базис $B_{I}R$ є кільцем Нетер.

Спадна послідовність скінченнопороджених підмодулів $M=M_0\supset M_1\supset M_2\supset \cdots$ називається I-фільтрацією якщо $I{M}_n\subset M_{n+1}$; I-фільтрація називається стабільною якщо $I{M}_n=M_{n+1}$ для достатньо великого n. Для модуля M з I-фільтрацією, позначимо $B_{I}M={⨁}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{M}_n{X}^n$; це є градуйованим модулем над градуйованим кільцем $B_{I}R$.

$B_{I}M$ є скінченнопородженим модулем над $B_{I}R$ якщо і тільки якщо $B_{I}M$ є I-стабільним.

Справді, якщо фільтрація є I-стабільною, то $B_{I}M$ є породженою $k+1$ членами $M_0,\dots ,M_k$ кожен з яких теж є скінченно породжений; тому, $B_{I}M$ є скінченно породженим. Навпаки, якщо цей модуль є скінченно породженим, наприклад, елементами з ${⨁}_{j=0}^k{M}_j{X}^j$, тоді для $n\ge k$, кожен елемент f з $M_n$ може бути записаним як

$f=\sum a_{ij}{X}^{n-j}{g}_{ij}{X}^j,a_{ij}\in I^{n-j}$

для породжуючих елементів $g_{ij}$ з $M_j,j\le k$ (для кожного елемента $g_{ij}$ індекс $j$ береться максимальним з тих, що $g_{ij}\in M_j$). Тобто, $f\in I^{n-k}{M}_k$.

Позначимо тепер $M_n=I^{n}M$. Тоді $M_n$ є I-стабільною фільтрацією. Тому з попереднього отримуємо, що $B_{I}M$ є скінченно породженим над $B_{I}R$ і тому $B_{I}M$ є нетеровим модулем і кожен його підмодуль є скінченно породженим над $B_{I}R$; зокрема, $B_{I}N$ є скінченно породженим коли на N визначити індуковану фільтрацію; тобто $N_n=M_n\cap N=I^{n}M\cap N$. Індукована фільтрація тоді теж буде I-стабільною, що й доводить твердження леми

Теорема Круля про перетини

Нехай R комутативне нетерове кільце, I — власний ідеал у R і M — скінченнопороджений модуль над R. Тоді перетину

$N:={\cap }_{n>0}{I}^{n}M$

належать всі елементи $x\in M$ для яких $(1-\alpha )x=0$ для деякого елемента $\alpha \in I$, який може бути обраний єдиним для всіх $x\in N$.

Доведення

Очевидно, що якщо $\alpha x=xx\in M$ для деякого елемента $\alpha \in I$ то $x\in I^{n}M,\mathrm{\forall }n⩾0$ і відповідно $x\in N$.

Навпаки застосувавши лему Артіна — Ріса для M і N визначених у цьому розділі, отримуємо деяке k, таке що для всіх $n\ge k$, $I^{n}M\cap N=I^{n-k}(I^{k}M\cap N).$ Зокрема для $n=k+1$:

$I^{k+1}M\cap N=I(I^{k}M\cap N).$

Але оскільки $I^{k+1}M\cap N=I^{k}M\cap N=N$то звідси $IN=N$ і згідно леми Накаями існує $\alpha \in I$ такий, що $(1-\alpha )x=0$ для всіх $x\in N$.

Наслідок для локальних нетерових кілець

Для власного ідеалу I в комутативному локальному нетеровому кільці ${\bigcap }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{I}^n=0$.

Оскільки $I^n\subset 𝔪$ то достатньо довести твердження для єдиного максимального ідеалу локального кільця. Взявши в теоремі Круля $I=M=𝔪$ і враховуючи, що в локальному кільці всі елементи $1-\alpha ,\alpha \in 𝔪$ є оборотними отже не є дільниками 0 отримуємо необхідний результат.

Література

• Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії Шаблон:Webarchive
• Шаблон:Citation
• Eisenbud, David, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, Шаблон:ISBN.

Посилання

• Шаблон:Planetmath reference