Поповнення (комутативна алгебра)

Поповнення кільця або модуля є методом у комутативній алгебрі, в якому кільце або модуль поповнюється щодо заданої метрики, яка є індукованою ідеалом. Термін геометрично пов'язаний з локалізацією кільця: обидва кільця досліджують околи точки в спектрі кільця, але поповнення ще більше відображає локальні властивості.

Означення

Поповнення кільця щодо ідеалу

Всюди у цій статті кільця вважаються комутативними з одиницею.

Нехай $A$ кільце і $I$ ідеал. Позначимо $A^{\mathbb{N}}=\prod _{n\in \mathbb{N}}A$

Послідовність $(a_i{)}_{(i\in \mathbb{N})}=(a_0,a_1,\dots )$ називається нульовою, якщо для всіх $n\in \mathbb{N}$ існує число $k\in \mathbb{N}$, таке що $\mathrm{\forall }i>k:a_i\in I^n$

Позначимо $\mathrm{N}\mathrm{F}$ ідеал всіх нульових послідовностей.

Послідовність $(a_i{)}_{(i\in \mathbb{N})}$ називається фундаментальною або послідовністю Коші, коли для всіх $n\in \mathbb{N}$ існує число $k\in \mathbb{N}$, таке що:

$\mathrm{\forall }i,j>k:(a_i-a_j)\in I^n$

Позначимо $\mathrm{C}\mathrm{F}$ кільце всіх фундаментальних послідовностей.

Фактор-кільце ${\hat{A}}_I:=\mathrm{C}\mathrm{F}/\mathrm{N}\mathrm{F}$ називається поповненням $A$ за $I$.

Якщо $a\in A$ то послідовність $(a,a,a\dots )$ є очевидно фундаментальною і тому існує гомоморфізм

$f:A\to \hat{A}$

$f:a\mapsto (a,a,\dots ).$

Даний гомоморфізм є ін'єктивним, якщо:

$\bigcap _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{I}^i=\{0\}$

Зокрема ця рівність виконується для важливого випадку локальних нетерових кілець (для яких це твердження є наслідком леми Артіна — Ріса).

Кільце називається повним (по відношенню до $I$), якщо $f$ є ізоморфізмом.

Поповнення модулів

Фільтрацією модуля $M$ над кільцем $A$ називається послідовність $(M_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ така, що:

$M=M_0\supset M_1\supset ...\supset M_i\supset$

Найважливішим частковим випадком є послідовність $M_n=I^{n}M$ для деякого ідеала $I$. Ця фільтрація називається $I$-адичною.

Ввівши модуль послідовностей $M^{\mathbb{N}}$ і використовуючи $M_n$ замість $I_n$ можна аналогічно до попереднього ввести поняття фундаментальних і нульових послідовностей і поповнення модуля

$\hat{M}=CF/NF$ щодо фільтрації чи, в окремому випадку $M_n=I^{n}M$ щодо ідеала $I$.

Модуль $M$ називається повним (щодо фільтрації), коли природне відображення:

$f:M\to \hat{M}$ є ізоморфізмом.

Альтернативні означення

Як поповнення метричного простору

Поповнення кільця за ідеалом можна розглядати як окремий випадок поповнення метричних просторів, якщо відповідну метрику задати на кільці. Нехай $A$ кільце і $I$ ідеал. Тоді на $A$ можна задати псевдометрику:

${\mathrm{d}}_I(x,y)=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{2^{-i}|x-y\in I^i\}(\text{ mit }{I}^0:=A)$

Якщо до того ж виконується:

$\bigcap _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{I}^i=\mathrm{\varnothing },$

то функція ${\mathrm{d}}_I$ є метрикою, тобто додатково

${\mathrm{d}}_I(x,y)=0\Rightarrow x=y.$

До метричного простору $(A,{\mathrm{d}}_I)$ можна застосувати стандартну процедуру поповнення метричних просторів. Внаслідок цього отримаємо кільце, що є повним метричним простором і є ізоморфним поповнення кільця згідно попереднього означення.

За допомогою проективних границь

Оберненою системою кілець (або модулів)називається ряд кілець (або модулів) і гомоморфізмів між ними $(A_i,f_i{)}_{(i\in \mathbb{N})}$ де гомоморфізми визначені як

$f_n:A_n\to A_{n-1}.$

Проективною границею цієї системи називається кільце:

$\underset{⟵}{\lim }(A_n,f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}:=\{(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\in \prod _{n\in \mathbb{N}}{A}_n|x_n\in A_n,f_n(x_n)=x_{n-1}\}$

Якщо тепер $I\subset A$ ідеал і позначивши

$A_i=A/I^i$

$A_0=0$

$f_{i+1}:A_{i+1}\to A_i$ — природний гомоморфізм кільця $A_{i+1}$ у його фактор-кільце $A_i=A_{i+1}/(I^{n+1}/I^n)$,

отримаємо кільце ізоморфне поповненню кільця:

${\hat{A}}_I\cong \underset{⟵}{\lim }(A_n,f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$

Властивості

• Нехай $A$ і $B$ — кільця і $I\subset A$ і $J\subset B$ — ідеали. Якщо $f:A\to B$ — гомоморфізм кілець для якого $f(I)\subset J$, то можна визначити гомоморфізм $\hat{f}:\hat{A}\to \hat{B}$
• Нехай $A$ — локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом $m$ і $\hat{A}$ його поповнення. Тоді:

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(A)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(\hat{A})$ ($\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(A)$ позначає розмірність Круля кільця)

$A$ є регулярним, якщо і тільки якщо таким є $\hat{A}$.

• Теорема Коена про структуру: якщо $A$ регулярне локальне кільце, яке є повним щодо його максимального ідеала і містить в собі поле, то:

$A\cong k[[X_1,\dots ,X_n]]$ де $k$ є полем лишків кільця $A$.

• Поповнення кільця Нетер $A$ є плоским модулем над $A$.
• Якщо $A$ — кільце і $M$ — скінченнопороджений модуль над кільцем $A$ то відображення ${\phi }_M:M{\otimes }_A\hat{A}\to \hat{M}$ є сюр'єктивним. Якщо додатково $A$ є нетеровим кільцем, то це відображення є ізоморфізмом. В даному випадку поповнення модуля здійснюється за фільтрацією $M_n=I^{n}M$. Зокрема для деякого ідеала $I$ у нетеровому кільці $A$ звідси випливає $\hat{I}\simeq I{\otimes }_A\hat{A}\simeq \hat{A}I.$
• Нехай $M$ є $A$-модулем і $(M_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ — задана на ньому фільтрація. Якщо для довільного $n\in \mathbb{N}$ розглядати модуль $M_n$ з індукованою фільтрацією, то ${\hat{M}}_n$ є підмодулем $\hat{M}$ і також $\hat{M}/{\hat{M}}_n\simeq M/M_n.$
• Для поповнення ідеала $I$ у нетеровому кільці $A$ (щодо $I$-адичної фільтрації) справедливими є твердження: $(\hat{I}{)}^n=\widehat{(I^n)},I^n/I^{n+1}\simeq {\hat{I}}^n/{\hat{I}}^{n+1}.$ Також $\hat{I}$ є підмножиною радикала Джекобсона кільця $\hat{A}$
• Нехай $M$ є $A$-модулем і $(M_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ — задана на ньому фільтрація. Тоді $({\hat{M}}_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ (де ${\hat{M}}_i$ означені як і вище) є фільтрацією модуля $\hat{M}$ і для цієї фільтрації $\hat{\hat{M}}=\hat{M}.$
• Нехай

$0\to M^{\prime }\stackrel{f}{\to }M\stackrel{g}{\to }{M}^{″}\to 0$

коротка точна послідовність $A$-модулів і $(M_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ — фільтрація модуля $M$. Нехай $(f^{-1}{M}_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ і $(g{M}_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ — індуковані фільтрації на модулях $M^{\prime }$ і $M^{″}.$ Тоді поповнення модулів щодо цих фільтрацій утворюють точну послідовність

$0\to {\hat{M}}^{\prime }\stackrel{}{\to }\hat{M}\stackrel{}{\to }{\hat{M}}^{″}\to 0.$

Зокрема це справедливо, якщо на всіх модулях фільтрація є породжена деяким ідеалом кільця: $M_n=I^{n}M$

Приклади

Формальний степеневий ряд

Якщо $A$ є кільцем многочленів $K[X_1,\dots ,X_n]$ над полем $K$ і $I$ ідеал породжений елементами $(X_1,\dots ,X_n)$

Поповнення кільця $K[X_1,\dots ,X_n]$ за ідеалом $I$ є ізоморфним кільцю формальних степеневих рядів $K[[X_1,\dots ,X_n]].$

Р-адичні числа

р-адичні числа ${\mathbb{Q}}_p$ є поповненням поля $\mathbb{Q}$ щодо $p$-адичної метрики $d_p$ (де $p$ — деяке просте число) яка задається так: для раціональних чисел $q$ і $r$ маємо

$q-r=\pm p^i\cdot \frac{s}{t}$

де $s,t\in \mathbb{N}$ і $i\in \mathbb{Z}$ і $p$ не ділить жодне з чисел $s,t$ Тоді

$d_p(q-r)=p^{-i}$

Послідовність цілих чисел є фундаментальною щодо $p$-адичної метрики, якщо вона є фундаментальною щодо ідеалу $(p)$. Таким чином, ми отримуємо вкладення:

$f:{\hat{\mathbb{Z}}}_p\hookrightarrow {\mathbb{Q}}_p$.

Тут, ліва сторона позначає поповнення $\mathbb{Z}$ за $(p)$. Це вкладення задає ізоморфізм $\widehat{{\mathbb{Z}}_p}\cong {\mathbb{Z}}_p$ з кільцем $p$-адичних цілих чисел, яке і є поповненням цілих чисел щодо ідеалу $(p)$.

Геометричний Приклад

Графік кривої $y^2=x^2(x+1)$ в дійсній афінній площині

Нехай $X$ плоска алгебрична крива в двовимірному афінному просторі, що задається рівнянням

$y^2=x^2(x+1)$

У нульовій точці, крива перетинає сама себе і в околі нуля є схожою з кривою $0=xy$. Ця локальна схожість виявляється ізоморфізмом $\hat{A}\cong \hat{B}$ де

$A:=K[[x,y]]/(y^2-x^2-x^3{)}_{(\overline{x},\overline{y})}$

і

$B:=K[[x,y]]/(xy{)}_{(\overline{x},\overline{y})}$

Самі локальні кільця двох кривих в точці не є ізоморфними на відміну від їх поповнень.

Кільце з лівої сторони «рівняння ізоморфізму» є прикладом того, що поповнення області цілісності, може саме не бути областю цілісності.

Інтерпретація в алгебричній геометрії

У алгебричній геометрії особливе значення мають поповнення локальних кілець в точках алгебричних многовидів. Вони є важливими для вивчення локальної поведінки многовидів і дають часто значно більше інформації, ніж самі локальні кільця. Зокрема якщо дві точки $P\in X$ і $Q\in Y$ на незвідних алгебричних многовидах мають ізоморфні локальні кільця, то многовиди $X$ і $Y$ є біраціональними. Локальне кільце несе майже всю інформацію про многовид, тоді як поповнення локального кільця має властивості, які інтуїтивно більш характерні саме для локальної інформації.

З теореми Коена випливає, що регулярні точки на алгебричних многовидах мають ізоморфні поповнення відповідних локальних кілець, тоді і тільки тоді коли відповідні многовиди мають однакову розмірність.

Див. також

• Локалізація кільця

Література

• Bruske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut (1989), ISBN 978-3411140411
• Ernst Kunz, «Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry», Birkhauser 1985, Шаблон:ISBN
• Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9