Регулярне локальне кільце

Регулярне локальне кільце — нетерове локальне кільце, таке що число твірних його максимального ідеалу збігається з розмірністю Круля кільця. Назва регулярне пояснюється геометричними причинами. Точка $x$ алгебраїчного многовида $X$ є неособливою (регулярною) тоді і тільки тоді, коли локальне кільце ${𝒪}_{X,x}$ ростків раціональних функцій в точці $x$ є регулярним.

Визначення

Регулярні локальні кільця

Існує кілька еквівалентних визначень регулярного локального кільця. Зокрема, якщо $A$  — нетерове локальне кільце з максимальним ідеалом $𝔪$, такі визначення еквівалентні:

• Нехай $𝔪=(a_1,\dots ,a_n)$ де $n$ вибрано настільки малим, наскільки це можливо (в будь-якому випадку, n не може бути меншим розмірності Круля). $A$ є регулярним, якщо

$\text{dim}A=n.$

• Нехай $k=A/𝔪$  — поле лишків кільця $A$. Тоді $A$ є регулярним, якщо

${\dim }_k𝔪/{𝔪}^2=\dim A$,

Тут перша розмірність  — розмірність векторного простору, а друга  — розмірність Круля.

• Нехай $\text{gl dim}A$  — глобальна розмірність $A$ (тобто супремум проективних розмірностей всіх $A$-модулів.) Тоді $A$ є регулярним, якщо

$\text{gl dim}A<\mathrm{\infty }$,

У цьому випадку $\text{gl dim}A$ завжди збігається з розмірністю Круля.

Множина твірних максимального ідеалу кількість елементів якої рівна розмірності Круля називається регулярною системою твірних.

Регулярні кільця

Кільце A називається регулярним, якщо його локалізація по довільному простому ідеалу  — регулярне локальне кільце.

Інше нееквівалентне означення регулярного кільця дав Серр. Згідно цього означення комутативне кільце називається регулярним, якщо воно має скінченну глобальну розмірність. Регулярне в сенсі Серра кільце є регулярним але не обов'язково навпаки.

Приклади

• Будь-яке поле  — регулярне локальне кільце. Насправді, поля  — це всі регулярні локальні кільця розмірності 0.
• Регулярні локальні кільця розмірності 1  — це кільця дискретного нормування. Зокрема, кільце формальних степеневих рядів $k[[x]]$ (k  — довільне поле) є регулярним локальним кільцем. Інший приклад  — кільце p-адичних чисел.
• Більш загально, кільце формальних степеневих рядів $k[[x_1,x_2,\cdots ,x_d]]$ — регулярне локальне кільце розмірності d .
• Всі кільця Дедекінда є регулярними.
• Нехай R — локалізація кільця $\frac{k[X,Y]}{(X^3-Y^2)},$ де k  — поле по максимальному ідеалу $𝔪=(\overline{X},\overline{Y}).$ Тоді R не є регулярним локальним кільцем. У цьому випадку $\dim R=\mathrm{ht}𝔪=1$ оскільки $\mathrm{ht}(X,Y)=2,$ а $X^3-Y^2$ не є дільником нуля у кільці $k[X,Y].$ Натомість $(\overline{X},\overline{Y})$ є мінімальною породжуючою множиною.

Властивості

• Теорема Аусландера — Бухсбаума стверджує, що кожне регулярне локальне кільце є факторіальним кільцем.
• Якщо $(A,𝔪)$ — повне регулярне локальне кільце, що містить деяке поле, то

$A\cong k[[x_1,\dots ,x_d]]$,

де $k=A/𝔪$, а $d$  — розмірність Круля. Це твердження є найважливішим частковим випадком структурної теореми Коена, що описує будову усіх повних регулярних кілець.

• Асоційоване градуйоване кільце $\mathrm{Gr}(A)=\underset{n⩾0}{⨁}({𝔪}^n/{𝔪}^{n+1})$ є ізоморфним кільцю многочленів $k[X_1,...,X_n],$ де $k=A/𝔪.$
• Регулярне локальне кільце є областю цілісності.
• Якщо A  — регулярне кільце, то кільце многочленів $A[x]$ і кільце формальних степеневих рядів $A[[x]]$ є регулярними.
• Будь-яка локалізація регулярного кільця є регулярним кільцем. Наприклад, $\mathbb{Z}[x{]}_{(2,x)}$  — двовимірне регулярне кільце, яке не містить ніякого поля.
• Поповнення регулярного кільця є регулярним.
• Нехай A — регулярне локальне кільце і $𝔭$ — його простий ідеал. Кільце $A/𝔭$ є регулярним локальним кільцем тоді і тільки тоді коли ідеал $𝔭$ породжується деякою підмножиною системи регулярних твірних. Якщо кількість цих елементів рівна t, а розмірність A рівна n то розмірність $A/𝔭$ рівна n — t.

Застосування в алгебраїчній геометрії

Визначення регулярного локального кільця було дано Вольфгангом Крулем в 1937 році, проте вони стали відомими завдяки роботам Оскара Зариського, який довів що регулярні локальні кільця відповідають гладким точкам алгебраїчних многовидів.

Нехай Y  — алгебраїчний многовид, що міститься в n-вимірному афінному просторі над досконалим полем, і визначається як множина загальних нулів многочленів (від n змінних) f₁,…,f_m. Y є особливим у точці P, якщо ранг матриці Якобі (матриці (∂f_i/∂x_j)) в цій точці є меншим, ніж в іншій точці многовида. Розмірність многовида дорівнює різниці n і рангу матриці Якобі в неособливих точках. Зариський довів, що матриця Якобі в точці P є неособливою тоді і тільки тоді, коли локальне кільце многовида Y в P є регулярним. Зариський також зауважив, що це не обов'язково вірно для недосконалих полів.) З цього випливає, що гладкість є внутрішньою властивістю многовида, тобто не залежить від конкретного вкладення многовида в афінний простір.

Див. також

• Локальне кільце
• Розмірність Круля
• Структурна теорема Коена

Посилання

• Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії

Література

• Шаблон:Бурбаки.Коммутативная алгебра
• Jean-Pierre Serre , Local algebra, Springer-Verlag, 2000.  — ISBN 3-540-66641-9. Chapter IV.D.
• Шаблон:Cite book