Теорема Аусландера — Бухсбаума

У комутативній алгебрі теорема Аусландера — Бухсбаума стверджує, що кожне регулярне локальне кільце є факторіальним кільцем.

Теорема була доведена у 1959 році американськими математиками Морісом Аусландером і Девідом Бухсбаумом для регулярних локальних кілець розмірності 3. До того Масайоші Нагата довів, що з цього випливає твердження для всіх регулярних локальних кілець.

Доведення

Лема 1

Нехай R — нетерова область цілісності. Тоді R є факторіальним кільцем якщо і тільки якщо кожний простий ідеал висоти 1 у R є головним.

Доведення леми 1

Припустимо, що R є факторіальним кільцем, $𝔭$ — простий ідеал висоти 1. Нехай $a\in 𝔭,a\ne 0,$ і p є незвідним дільником a. Тоді $Rp\subset 𝔭$ і з того що $\mathrm{ht}P=1$ і Rp є простим ідеалом, $Rp=𝔭,$ тобто $𝔭$ є головним ідеалом.

Навпаки припустимо, що кожен простий ідеал висоти 1 є головним. Оскільки R є нетеровим кільцем, кожен елемент $a\in R,$ що не є оборотним можна записати як скінченний добуток незвідних елементів. Достатньо довести, що кожен незвідний елемент є простим. Нехай $a\in R$ є незвідним елементом і $𝔭$ — мінімальний простий ідеал над (a). Тоді $\mathrm{ht}𝔭=1$ і, за припущенням, $𝔭$ є головним ідеалом. Тому $𝔭=Rp,$ де p є простим елементом. Також p ділить незвідний елемент a, тому p = ua, де u є оборотним елементом. Звідси також a є простим елементом.

Лема 2

Нехай R — кільце і M — проективний R-модуль. Якщо для M існує скінченна вільна резольвента

$0\to M_n\to M_{n-1}\to \dots \to F_0\to M\to 0$

де всі $M_i$ є вільними модулями скінченного рангу, то існує скінченнопороджений вільний модуль F, для якого $M\oplus F$ є вільним модулем скінченного рангу.

Доведення леми 2

Доведення індукцією по n. Якщо n = 0 то $M\simeq F_0$ є скінченнопородженим вільним модулем. Нехай $n$ > 0 і $K=\mathrm{Ker}(F_0\to M).$ Оскільки M є проективним модулем, $F_0=M\oplus K$ і для K існує вільна резольвента довжини n - 1. За індукцією існує скінченнопороджений вільний модуль F' для якого $K\oplus F^{\prime }=F$ є скінченнопородженим вільним модулем. Тоді $M\oplus F=M\oplus K\oplus F^{\prime }\simeq F_0\oplus F^{\prime },$ тож $M\oplus F$ є скінченнопородженим вільним модулем.

Лема 3

При тих же умовах, що і в попередній лемі, якщо $M\oplus R^n\simeq R^{n+1},$ то $M\simeq R.$

Доведення леми 3

Для кожного простого ідеалу $𝔭$ виконується $M_{𝔭}\oplus R_{𝔭}^n\simeq R_{𝔭}^{n+1}$ тому M є проективним модулем сталого рангу 1. Крім того для i > 1 маємо

${\left(\underset{R}{\overset{i}{\bigwedge }}\right)}_{𝔭}\simeq R_{𝔭}\otimes \underset{R}{\overset{i}{\bigwedge }}M\simeq \underset{R_{𝔭}}{\overset{i}{\bigwedge }}\left(R_{𝔭}{\otimes }_{R}M\right)\simeq \underset{R_{𝔭}}{\overset{i}{\bigwedge }}{M}_{𝔭}.$

Оскільки попереднє виконується для всіх простих ідеалів, то для i > 1 також $\underset{R}{\overset{i}{\bigwedge }}M=0.$

Тому

$R={\bigwedge }^{n+1}{R}^{n+1}\simeq {\bigwedge }^{n+1}(M\oplus R^n)\simeq \underset{i+j=n+1}{⨁}{\bigwedge }^{i}M\otimes {\bigwedge }^j{R}^n\simeq {\bigwedge }^{0}M\otimes {\bigwedge }^{n+1}{R}^n\oplus {\bigwedge }^{1}M\otimes {\bigwedge }^n{R}^n\simeq M{\otimes }_{R}R\simeq M.$

Лема 4

Нехай I — ненульовий проективний ідеал кільця R для якого існує скінченна вільна резольвента. Тоді I є головним ідеалом.

Доведення леми 4

Згідно леми 2 існує скінченнопороджений модуль F такий що $I\oplus F=F^{\prime },$ де $F^{\prime }$ є скінченнопородженим вільним модулем. Оскільки $I_{𝔭}\oplus F_{𝔭}\simeq F{\text{'}}_{𝔭},$ як модуль I має сталий ранг рівний $\mathrm{rank}{F}^{\prime }-\mathrm{rank}F.$ Оскільки I є ненульовим проективним ідеалом, то $\mathrm{rank}I=1.$ Тому з Леми 3 $I\simeq R.$

Доведення теореми Аусландера — Бухсбаума

Доведення індукцією по $d=\dim R.$ Якщо d = 0, то R є полем.

Припустимо d > 0. Оскільки R є областю цілісності, згідно леми 1 досить довести, що кожен простий ідеал висоти 1 є головним.

Нехай $𝔭$ буде таким ідеалом. Оскільки d > 0, то $𝔪\ne {𝔪}^2$ і можна обрати елемент $a\in 𝔪\setminus {𝔪}^2.$ З того що $\{a\}$ є частиною регулярної системи параметрів ідеал Ra є простим ідеалом, тобто a є простим елементом. Якщо $a\in 𝔭,$ то $Ra\subset 𝔭$ і оскільки $𝔭$ має висоту 1, то $𝔭=Ra$ є головним ідеалом.

Нехай тепер $a\ne 𝔭$ і розглянемо мультиплікативно замкнуту множину $S=\{a^n|n⩾0\}.$ Якщо $R^{\prime }=S^{-1}R,$ то ${𝔭}^{\prime }=𝔭R^{\prime }$ є простим ідеалом кільця R' з висотою 1.

Ідеал P' є головним ідеалом. Для цього спершу доведемо, що ідеал P' є проективним ідеалом у кільці R' .

Нехай Q' = QR' — будь-який простий ідеал у кільці R' , де Q є простим ідеалом кільця R. Тоді $Q\ne 𝔪,$ тому що $a\in ̸Q.$

Маємо $R{\text{'}}_{Q^{\prime }}\simeq R_Q$ є регулярним локальним кільцем розмірності меншої, ніж $\dim R.$ Тому за припущенням індукції, $R{\text{'}}_{Q^{\prime }}$ є факторіальним кільцем. Із цього випливає також, що ${𝔭}^{\prime }R{\text{'}}_{Q^{\prime }},$ який є простим ідеалом висоти 1 є головним ідеалом. Оскільки головний ідеал у області цілісності є вільним модулем, то ${𝔭}^{\prime }R{\text{'}}_{Q^{\prime }}$є вільним, а тому і проективним модулем.

Оскільки проективна розмірність є рівною супремуму по всіх локалізаціях за простими ідеалами, то $p{d}_{R^{\prime }}{𝔭}^{\prime }=\underset{Q^{\prime }}{\sup }p{d}_{R{\text{'}}_{Q^{\prime }}}{𝔭}^{\prime }R{\text{'}}_{Q^{\prime }}=0.$ Тому ${𝔭}^{\prime }$ є R' -проективним модулем. Також для ${𝔭}^{\prime }$існує скінченна вільна резольвента. Справді оскільки глобальна розмірність кільця R є скінченною то для $𝔭$ існує скінченна вільна R-резольвента і тому для ${𝔭}^{\prime }=𝔭R^{\prime }$ також існує скінченна вільна R' -резольвента.

Згідно леми 4 ${𝔭}^{\prime }$ є головним ідеалом у R' . Нехай ${𝔭}^{\prime }=R^{\prime }p,$ де $p\in 𝔭.$ Без втрати загальності можна вважати, що a не ділить p. Тоді $𝔭=Rp.$ Очевидно $Rp\subset 𝔭.$ Нехай $x\in 𝔭={𝔭}^{\prime }\cap R.$ Можна записати $x=\frac{b}{a^m}p$ або $a^{m}x=bp.$ З того що a є простим елементом, що не ділить p, випливає $a^m|b.$ Тому $x\in Rp,$ тобто $𝔭=Rp.$

Див. також

• Регулярне локальне кільце

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation