Векторний простір

Додавання векторів і множення вектора на скаляр: вектор Шаблон:Math (синій) додається до іншого вектора Шаблон:Math (червоного, верхня ілюстрація). Унизу, w видовжений множенням на 2, показано суму Шаблон:Math.

Ве́кторний (ліні́йний) про́стір — основне поняття лінійної алгебри, узагальнення множини всіх векторів на площині чи в просторі з операціями додавання векторів та множення вектора на скаляр.

Прикладом векторного простору є Евклідові вектори. Вони відображають фізичні величини такі як сили: будь-які дві сили (однакової природи) можна додавати між собою і отримати в результаті третю, а множення вектору сили на дійсний множник дає інший вектор сили. Аналогічним чином, але в більш геометричному сенсі, вектори що відображають переміщення в площині або у тривимірному просторі також утворюють векторні простори. Вектори у векторному просторі не обов'язково повинні бути об'єктами у вигляді стрілок, як їх часто наведено в прикладах: вектори слід розглядати як абстрактні математичні об'єкти із певними властивостями, які в деяких випадках можна зобразити у вигляді направлених відрізків (стрілок).

Елементи лінійного простору називаються векторами, але не робиться ніяких припущень стосовно природи чи походження цих елементів. Наприклад, у функціональному аналізі розглядаються топологічні векторні простори, утворені з функцій однієї чи кількох змінних, а вектори стану в квантовій механіці описують стан квантової системи. Матриці заданого розміру також утворюють векторний простір. Зміст наведених нижче аксіом полягає у тому, що незалежно від природи елементів векторного простору, їхнє додавання і множення на скаляр задовольняють правила «шкільної алгебри».

У довільному векторному просторі не визначені операції скалярного, векторного добутку; норми чи метрики. Ці операції можуть вводитись як додаткові структури. Проте векторні простори із скалярним або ермітовим скалярним добутком відіграють важливу роль як у лінійній алгебрі, так і поза її межами, див. напр. гільбертів простір.

Приклади

Поняття векторного простору можна спершу пояснити за допомогою двох окремих прикладів:

Направлені відрізки на площині

У першому прикладі векторний простір складається із «стрілок» на площині, що беруть початок із однієї фіксованої точки, що є початком відліку. У фізиці їх використовують аби описати сили або швидкості. Нехай дано дві такі стрілки, Шаблон:Math і Шаблон:Math, і паралелограм, що утворений двома цими направленими відрізками містить діагональ, що бере початок з тієї ж точки. Ця нова побудована стрілка є сумою двох попередніх стрілок — Шаблон:Math. В особливому випадку коли стрілки знаходяться на одній прямій, їхньою сумою буде стрілка на цій прямій, довжина якої дорівнювати сумі або різниці довжин, і залежності від того чи мали стрілки однаковий напрям чи ні. Іншою операцією яку можна виконати над стрілками є масштабування: для будь-якого даного додатного дійсного числа Шаблон:Math, стрілка що має такий самий напрямок як Шаблон:Math, але його довжина збільшена або зменшена множенням на Шаблон:Math, називається добутком вектора Шаблон:Math на скаляр Шаблон:Math. Він позначається як Шаблон:Math. Якщо Шаблон:Math від'ємне, Шаблон:Math результатом буде стрілка, що вказує в протилежному напрямку.

На наступних зображеннях наведено два приклади: якщо Шаблон:Math, результуючий вектор Шаблон:Math має спільний напрямок із Шаблон:Math, але збільшену вдвічі довжину відносно Шаблон:Math (зображення праворуч знизу). Аналогічно, Шаблон:Math є сумою Шаблон:Math. Крім того, Шаблон:Math має протилежний напрям і однакову довжину з Шаблон:Math (вектор, що вказує вниз і показаний синім на зображенні праворуч).

• 
  Додавання векторів: сума Шаблон:Math (чорним) векторів Шаблон:Math (синім) і Шаблон:Math (червоним).
• 
  Скалярний добуток: множення Шаблон:Math і Шаблон:Math.

Впорядковані пари чисел

У другому ключовому прикладі векторний простір задано парами дійсних чисел Шаблон:Math і Шаблон:Math. (Важливим є порядок входження компонент Шаблон:Math і Шаблон:Math, тому така пара ще називається впорядкованою парою.) Записується вона наступним чином — Шаблон:Math. Сума двох таких пар і множення пари чисел на число визначатиметься таким чином:

Шаблон:Math + Шаблон:Math Шаблон:Math

і

Шаблон:Math.

Перший приклад зводиться до даного прикладу, якщо направлені відрізки буде представлено парою декартових координат їх кінцевих точок.

Означення

Лінійний простір над полем $𝕂$ — це множина $L$ елементи якої називаються векторами, у якій визначені:

• бінарна операція $L\times L\to L$ додавання векторів: $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\mapsto \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$
• унарна операція $K\times L\to L$ множення вектора на скаляр: $(\lambda ,\overrightarrow{u})\mapsto \lambda \overrightarrow{u}$

що задовільняють наступну систему аксіом:

• $L$ — комутативна група відносно операції додавання векторів:
  • $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ (комутативність додавання)
  • $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$ (асоціативність додавання)
  • $\mathrm{\exists }\overrightarrow{0}\in L:\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{u}$ (існування нульового вектора)
  • $\mathrm{\exists }-\overrightarrow{u}\in L:\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$ (існування протилежного вектора)
• асоціативність та унітарність множення на скаляри:
  • $\lambda (\mu \overrightarrow{u})=(\lambda \mu )\overrightarrow{u}$ (асоціативність множення на скаляри)
  • $1\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}$ (де $1$ це одиниця поля $𝕂$)
• дистрибутивність додавання і множення на скаляр:
  • $(\lambda +\mu )\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{u}$
  • $\lambda (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=\lambda \overrightarrow{u}+\lambda \overrightarrow{v}$

$\mathrm{\forall }\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in L$

$\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in 𝕂$

Найпоширеніші лінійні простори над полем $ℝ$ дійсних чисел або $ℂ$ комплексних чисел.

Пов'язані визначення

• Основними поняттями в лінійному просторі є: лінійна незалежність векторів, базис, підпростір.

• Пізніше за векторний простір було введено загальніше поняття модуля над кільцем, у визначенні якого поле $𝕂$ замінено на кільце $𝕂$. Але в лінійній алгебрі воно не розглядається через проблеми з існуванням базиса.

Історія

Векторні простори беруть початок із афінної геометрії після запровадження координат на площині і в тривимірному просторі. Приблизно в 1636, Декарт і Ферма започатковують аналітичну геометрію, коли починають вирішувати рівняння із двома змінними, що є точками на кривій в площині. В 1804, аби отримати геометричні рішення без використання координат, Больцано запропонував певні операції над точками, прямими і площинами, що були попередниками векторів. Його роботу згодом використав Мебіус в 1827 при введені поняття барицентричних координат. В 1828 Шаблон:Нп припустив існування алгебри, що перевершує не тільки звичайну алгебру, але також і двовимірну алгебру, яку він створив в пошуках геометричної інтерпретації комплексних чисел.

Визначення векторів було засновано на понятті пари точок (англ. bipoint) Беллавітіса, що є орієнтованим сегментом, в якому один кінець є початком, а другий ціллю. Згодом його було опрацьовано Арганом і Гамільтоном із представленням у вигляді Комплексних чисел і згодом при введені понять кватерніонів і бікватерніонів. Вони є елементами у Шаблон:Math, Шаблон:Math, і Шаблон:Math; ставлення до них як до лінійних комбінацій ввів Едмон Лагерр ще у 1867, який також дав визначення системам лінійних рівнянь.

В 1857, Артур Кейлі запропонував матричну нотацію, що дозволяє гармонізувати та спростити лінійні перетворення. Близько в той самий час, Герман Грассман вивчав барицентричні розрахунки, які започаткував Мебіус. Він уявляв множини із абстрактних об'єктів, над якими виконувалися операції. В його роботі фігурували поняття лінійної незалежності і розмірність, а також скалярний добуток. Першим хто дав сучасне визначення векторному простору і лінійним відображенням в 1888 р. був Джузеппе Пеано.

Важливим фактором розвитку векторних просторів була побудова Лебегом функціональних просторів. Близько 1920 це поняття формалізували Стефан Банах і Давид Гільберт. В той час, алгебра почала взаємодіяти із новою областю - функціональним аналізом, зокрема, за допомогою таких ключових понять як простір p-інтегрованих функцій і Гільбертіві простори. Векторні простори, в тому числі нескінченно-вимірні, стали тоді добре вкоріненим поняттям, і багато галузей математики почали використовувати його.

Базис і вимір

Вектор Шаблон:Math із множини Шаблон:Math (синім) заданий за допомогою різних базисів: із використанням стандартного базису для Шаблон:Math (чорне), і з використанням іншого, не-ортогонального базису: Шаблон:Math (червоне).

Різні базиси дозволяють задати вектор за допомогою послідовності скалярів, що називаються координатами або компонентами вектора. Базис це (скінченна або нескінченна) множина Шаблон:Math векторів Шаблон:Math, для зручності вона часто може індексуватися за допомогою деякої множини індексів Шаблон:Math, що охоплює весь простір і є лінійно незалежним. Під поширенням на весь простір розуміють, що будь-який вектор Шаблон:Math можна задати як скінченну суму (що називається лінійною комбінацією) із базових елементів: Шаблон:NumBlk де Шаблон:Math це скаляри, що називаються координатами (або компонентами) вектора Шаблон:Math відповідно до базису Шаблон:Math, і Шаблон:Math Шаблон:Math елементів із Шаблон:Math. Під лінійною незалежністю розуміють, що координати Шаблон:Math є однозначно визначені для будь-якого вектору у векторному просторі.

Наприклад, вектори координат Шаблон:Math, Шаблон:Math, до Шаблон:Math, утворюють базис із Шаблон:Math, що називається стандартним базисом, оскільки будь-який вектор Шаблон:Math може бути унікально представлений як лінійна комбінація цих векторів:

Шаблон:Math.

Відповідні координати Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math є декартовими координатами вектора.

Кожен векторний простір має базис. Це випливає із леми Цорна, що є еквівалентним формулюванням Аксіоми вибору. У інші аксіомах із теорії множин Цермело — Френкеля, існування базису також еквівалентне аксіомі вибору. лема про ультрафільтр, що є слабшою за аксіому вибору, покладається на те, що всі вектори векторного простору мають однакову кількість елементів, або потужність (див. Шаблон:Нп). Це називають розмірністю векторного простору. Якщо простір складається із нескінченної множини векторів, вищезгадане твердження можливо довести без настільки фундаментального введення в теорію множин.

Лінійні відображення і матриці

Описання направленого вектору v за допомогою його координат x і y утворює ізоморфізм векторних просторів.

Співвідношення двох векторних просторів можна задати за допомогою лінійного відображення або лінійного перетворення. Це такі функції, які відображають структуру векторного простору — тобто, вони зберігають суми і скалярний добуток:

f(x + y) = f(x) + f(y) і f(a · x) = a · f(x) для всіх x і y в V, всіх a в F.

Ізоморфізм — лінійне відображення Шаблон:Math для якого існує обернене відображення Шаблон:Math, що є таким відображенням, для якого дві можливі композиції Шаблон:Math і Шаблон:Math є тотожними відображеннями. Відповідно, f буде одночасно ін'єкцією і сюр'єкцією. Якщо існує ізоморфізм між V і W, ці два простори називають ізоморфними; тоді по суті як векторні простори вони будуть ідентичними, оскільки всі тотожності, що виконуються для V за допомогою f, перетворюються на подібні в W, і навпаки, за допомогою g.

Наприклад, якщо векторні простори «направлених відрізків на площині» і «впорядкованих пар чисел» є ізоморфними: направлений відрізок v на площині, що виходить із початку координат деякої (фіксованої) системи координат можна задати за допомогою впорядкованої пари x- і y-компонент, як показано на малюнку праворуч. І навпаки, для даної пари (x, y), напрям відрізку праворуч (або ліворуч, якщо x є від'ємним) буде задавати значення x , а y — вгору (вниз, якщо y є від'ємним), що дозволяє повернутися назад до направленого відрізку v.

Матриці

Типова матриця

Матриці є зручною нотацію, для описання лінійних відображень. Вони записуються у вигляді впорядкованого прямокутного масиву скалярів як показано на малюнку праворуч. Будь-яка матриця A розміром m-на-n збільшує лінійне відображення із Fⁿ до F^m, наступним чином

$𝐱=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\mapsto (\sum _{j=1}^n{a}_{1j}{x}_j,\sum _{j=1}^n{a}_{2j}{x}_j,\cdots ,\sum _{j=1}^n{a}_{mj}{x}_j)$, де $\sum$ позначає суму, або, використовуючи матричне множення матриці Шаблон:Math на вектор координат Шаблон:Math:

Шаблон:Math.

Крім того, якщо обрати базиси для Шаблон:Math і Шаблон:Math, будь-яке лінійне відображення Шаблон:Math однозначно можна задати за допомогою цього рівняння.

Об'єм цього паралелепіпеда дорівнює абсолютному значенню детермінанта матриці розміром 3-на-3, що утворена векторами Шаблон:Math, Шаблон:Math, і Шаблон:Math.

Детермінант Шаблон:Math квадратної матриці Шаблон:Math є скаляром, який вказує чи є це відображення ізоморфізмом чи ні: аби це було так достатньо і необхідно аби детермінант не дорівнював нулю. Лінійне перетворення Шаблон:Math, що відповідає дійсній матриці n-на-n зберігає орієнтацію тоді і лише тоді, коли детермінант є додатнім.

Див. також

• Лінійний підпростір
• Афінний простір
• Банахів простір
• Гільбертів простір
• Ермітів простір
• Евклідів простір
• Норма (функціонал)
• Топологічний простір

Джерела

• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра
• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Березанський.Ус.Шефтель
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1