Кратність (математика)

Кратність (термін) — це властивість, яка показує, скільки разів одне число можна поділити на інше без залишку. Наприклад, якщо ми беремо число 3, кожне число, яке можна отримати, помноживши 3 на інше натуральне число (наприклад, можна отримати 3, 6, 9, 12 і т. д.), буде кратним числу 3, оскільки вони діляться на нього без залишку.

Важливо відзначити, що будь-яке натуральне число має нескінченну кількість кратних. Найменшим кратним числа є саме це число, але найбільше кратне числа не можна визначити, оскільки кратні можуть бути нескінченно великими.

Кратність простого множника

При розкладені на прості множники, кратність простого множника — це його Шаблон:Не перекладено. Наприклад, простий множник цілого числа Шаблон:Math є

Шаблон:Math

кратність простого множника Шаблон:Math дорівнює Шаблон:Math, тоді як кратність кожного з простих множників Шаблон:Math і Шаблон:Math дорівнює Шаблон:Math. Таким чином, Шаблон:Math має чотири прості множники з урахуванням кратності, але лише три різні прості множники.

Кратність кореня многочлена

Нехай $F$ — поле, а $p(x)$ — поліном від однієї змінної із коефіцієнтами у $F$. Елемент $a\in F$ є коренем кратності $k$ для $p(x)$, якщо існує такий поліном $s(x)$, що $s(a)\ne 0$ і $p(x)=(x-a{)}^{k}s(x)$. Якщо $k=1$, то $a$ називається простим коренем. Якщо $k⩾2$, то $a$ називається кратним коренем порядку $k$ або коренем кратності $k$.

Наприклад, поліном $p(x)=x^3+2x^2-7x+4$ має корені 1 і −4, і його можна записати як $p(x)=(x+4)(x-1{)}^2$. Це означає, що 1 є коренем кратності 2, а −4 є простим коренем (кратності 1). Кратність кореня — це кількість входжень цього кореня при розкладенні полінома на множники відповідно до основної теореми алгебри.

Якщо $a$ є коренем кратності $k$ якогось поліному, то він буде коренем кратності $(k-1)$ для похідної цього полінома, якщо тільки характеристика основного поля не є дільником Шаблон:Mvar, у такому випадку $a$ є коренем з кратність принаймні $k$ для похідної цього полінома.

Дискримінант полінома дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли поліном має кратний корінь.

Поведінка поліноміальної функції поблизу кратного кореня

Графік функції y=x³ + 2x² − 7x + 4 має простий корінь (кратність 1) у точці x=−4 та корінь кратності 2 у точці x=1. Графік перетинає вісь x у точці з простим коренем — x=−4. При цьому у точці з коренем кратності 2 графік є дотичним до вісі x, але не перетинає її, оскільки кратність цього кореня є парним числом.

Графік поліноміальної функції f перетинає або торкається осі x у тих точках, де є корені полінома. Якщо корінь полінома є кратним, графік є дотичним до осі x, якщо корінь є простим, то графік f не торкається осі у цій точці x. Графік перетинає вісь x в коренях з непарною кратністю і не перетинає її в коренях з парною кратністю.

Ненульова поліноміальна функція завжди невід'ємна тоді і тільки тоді, коли всі її корені мають парну кратність і існує $x_0$ такий, що $f(x_0)>0$.

Кратність розв'язку нелінійної системи рівнянь

Рівняння $f(x)=0$ має розв'язок лише для одного значення змінної — $x_{*}$ кратності $k$, якщо

$f(x_{*})=f^{\prime }(x_{*})=\cdots =f^{(k-1)}(x_{*})=0$ і $f^{(k)}(x_{*})\ne 0.$

Іншими словами, диференціальний функціонал ${\partial }_j$, визначений як похідна $\frac{1}{j!}\frac{d^j}{d{x}^j}$ функції у точці $x_{*}$, обертається в нуль в $f$ для $j$ від 1 до $(k-1)$. Ці диференціальні функціонали ${\partial }_0,{\partial }_1,\cdots ,{\partial }_{k-1}$ охоплюють векторний простір, який називається двоїстим простором Маколея в $x_{*}$, а його розмірність дорівнює кратності $x_{*}$ як нуля $f(x)$.

Нехай $𝐟(𝐱)=\mathrm{𝟎}$ — система $m$ рівнянь із $n$ змінними з розв'язком ${𝐱}_{*}$, де $𝐟$ є відображенням ${ℝ}^n\to {ℝ}^m$ або ${ℂ}^n\to {ℂ}^m$. Існує також подвійний простір Маколея диференціальних функціоналів в ${𝐱}_{*}$, в якому кожен функціонал обертається у нуль $𝐟$. Розмірність цього дуального простору Маколея є кратністю розв'язку ${𝐱}_{*}$ рівняння $𝐟(𝐱)=\mathrm{𝟎}$. Двоїстий простір Маколея формує структуру кратності розв'язку системи.

Наприклад, ${𝐱}_{*}=(0,0)$ буде розв'язком системи рівнянь $𝐟(𝐱)=\mathrm{𝟎}$, де

$𝐟(𝐱)=\left[\begin{array}{c}\sin (x_1)-x_2+x_1^2\\ x_1-\sin (x_2)+x_2^2\end{array}\right]$

Цей корінь має кратність 3, оскільки двоїстий простір Маколея

$span\{{\partial }_{00},{\partial }_{10}+{\partial }_{01},-{\partial }_{10}+{\partial }_{20}+{\partial }_{11}+{\partial }_{02}\}$

має розмірність 3, де ${\partial }_{ij}$ позначає диференціальний функціонал $\frac{1}{i!j!}\frac{{\partial }^{i+j}}{\partial x_1^i\partial x_2^j}$, застосований до функції $𝐟$ в точці ${𝐱}_{*}=(0,0)$.

Кратність завжди скінченна, якщо розв'язок є ізольованим, є інваріантною до зміни параметрів у тому сенсі, що $k$-кратний розв'язок стає кластером розв'язків із сумарною кратністю $k$ під час зміни параметрів у комплексних просторах і тотожна кратності перетину для поліноміальних систем.

Кратність перетину

Шаблон:Main В алгебраїчній геометрії перетин двох підмноговидів алгебраїчної множини є скінченним об'єднанням Шаблон:Нп. Кожній складовій такого перетину приписується «множина кратності». Це поняття є Шаблон:Нп у тому розумінні, що його можна визначити, розглядаючи події в околі будь-якої Шаблон:Нп цієї складової. З цього випливає, що без втрати загальності ми можемо розглядати, для визначення множинної кратності перетину, перетин двох афінних многовидів (підмноговидів афінного простору).

Таким чином, маючи два афінних многовиди V₁ і V₂, розглянемо нерозкладну складову W перетину з V₁ і V₂. Нехай d — розмірність W, а P — будь-яка загальна точка W. Перетин W з гіперплощиною d в загальному положенні, яка проходить через P, має нерозкладену складову, яка зводиться до однієї точки P . Отже, локальне кільце в цій компоненті координатного кільця перетину має лише один простий ідеал, і тому є кільцем Артіна. Це кільце є кінцево-вимірним векторним простором над базовим полем. Його розмірність — це множинна кратність перетину V₁ і V₂ у W.

Це визначення дозволяє нам точно сформулювати теорему Безу та її узагальнення.

Наведене визначення узагальнює кратність кореня полінома наступним чином. Корені полінома f — це точки на афінній прямій, які є компонентами алгебраїчної множини, заданої многочленом. Координатне кільце цієї афінної множини має вигляд $R=K[X]/⟨f⟩,$ де K — алгебраїчно замкнуте поле, що містить коефіцієнти f. Якщо $f(X)=\prod _{i=1}^k(X-{\alpha }_i{)}^{m_i}$ — розкладення полінома f, тоді локальне кільце R відносно простого ідеалу буде $⟨X-{\alpha }_i⟩$ є $K[X]/⟨(X-\alpha {)}^{m_i}⟩.$ Це векторний простір над K, розмірність якого відповідає кратності $m_i$ кореня.

Це визначення кратності перетину, яке, по суті, належить Жан-П'єр Серру, описане у його книзі «Локальна алгебра», працює лише для теоретико-множинних компонент (також їх називають «ізольованими компонентами») перетину, а не для вбудованих компонент. Були розроблені теорії для роботи з вбудованими компонентами (див. Шаблон:Нп для більш детальної інформації).

У комплексному аналізі

Нехай z₀ є коренем голоморфної функції f, а n — найменше додатне ціле число таке, що n-та похідна f, обчислена як z₀, відрізняється від нуля. Тоді ряд Лорана для функції f в околі точки z₀ починається з n-го члена, і кажуть, що у функції f є корінь кратності (або «порядку») n.

Якщо n=1, то корінь називається простим.

Ми також можемо визначити кратність нулів та полюсів мероморфної функції. Якщо у нас є мероморфна функція $f=\frac{g}{h},$ де g і h — це функції, візьмемо ряди Тейлора g і h в околі точки z₀, і знайдемо перший ненульовий член у кожному з них (позначимо порядок цих членів як m і n відповідно). Якщо m=n, то точка має ненульове значення. Якщо $m>n,$ точка є нулем кратності $m-n.$ Якщо $m<n$, то точка має полюс кратності $n-m$.

Див. також

• Найменше спільне кратне
• Найбільший спільний дільник

Джерела

• Шаблон:Дрозд.Теорія алгебричних чисел