Нуль (комплексний аналіз)

Нуль голоморфної функції $f(z)$ — у комплексному аналізі число $z=a$ таке, що обертає функцію в нуль:$f(a)=0$. При цьому нуль може бути як дійсним, так і комплексним числом.

Обчислення нулів

Якщо $z=a\ne \mathrm{\infty }$ — нуль, і функція $f(z)$ має розвинення в ряд Тейлора у вигляді $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n$, то $C_0=f(a)=0$. Якщо $C_m$ перший відмінний від нуля коефіцієнт розвинення, тобто $f(z)=C_m(z-a{)}^m+C_{m+1}(z-a{)}^{m+1}+...$, то число m — порядок, або кратність нуля функції $f(z)$.

Оскільки $C_k=\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$, то порядок нуля дорівнює порядку похідної, відмінної від нуля в точці a.

Точка $z=a\ne \mathrm{\infty }$ є нулем порядку m тоді і тільки тоді, коли функція перетворюється у вигляд $f(z)=(z-a{)}^{m}g(z),g(a)\ne 0$, а $g(z)$ — голоморфна в точці а.

Існування нулів

Основна теорема алгебри стверджує, що відмінний від сталої многочлен має хоча б один нуль у комплексній площині. На відміну від дійсних функцій, які нулів можуть і не мати, наприклад, $f(x)=x^2+1$ не має нулів у дійсній множині.

Властивості

Нулі голоморфної функції завжди ізольовані. Тобто існує такий окіл а, в якому немає інших нулів функції $f(z)$ відмінних від а.

Див. також

• Полюс (комплексний аналіз)

Джерела

• Грищенко А. О., Нагнибіда М. І., Настасів П. П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.