Дискримінант

Дискриміна́нт, ви́ріжник (від Шаблон:Lang-la — «розбирати», «розрізняти») многочлена $p(x)=a_0+a_{1}x+...+a_n{x}^n$ — за визначенням це добуток

$D(p)=a_n^{2n-2}\prod _{i<j}({\alpha }_i-{\alpha }_j{)}^2$,

де ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$ - всі корені (з урахуванням кратностей) в деякому розширенні основного поля, в якому вони існують.

Властивості

• Дискримінант рівний нулю т. і т. т., коли многочлен має кратні корені.
• Дискримінант є симетричним многочленом щодо коренів многочлена і тому є многочленом від його коефіцієнтів; ба більше, коефіцієнти цього многочлена цілі, тому не залежать від розширення, в якому беруться корені.
• $D(p)=\frac{(-1{)}^{n(n-1)/2}}{a_n}R(p,p^{\prime })$, де $R(p,p^{\prime })$ — результант многочлена $p(x)$ і його похідної $p^{\prime }(x)$.
  • Зокрема, дискримінант многочлена

    $p(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$

    рівний, з точністю до знаку, визначникові такої матриці:

1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_0$	0	.	.	.	0
0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_0$	0	.	.	0
0	0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_0$	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_0$
$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$	0	0	.	.	.	0
0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$	0	0	.	.	0
0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$	0	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$	0
0	0	0	0	0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_1$

Приклади

• Дискримінант квадратного тричлена $a{x}^2+bx+c$ дорівнює $b^2-4ac$;
• Дискримінант многочлена $a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$ дорівнює

$4a_1^3{a}_3-a_1^2{a}_2^2+4a_0{a}_2^3-18a_0{a}_1{a}_2{a}_3+27a_0^2{a}_3^2.$

• Зокрема, дискримінант многочлена $x^3+px+q$ (корені якого обчислюється за формулою Кардано) дорівнює: $-27q^2-4p^3$.

Джерела

• Шаблон:Завало.Курс алгебри