Друга похідна

Друга похідна квадратичної функції є константною.

У диференційному численні друга похідна чи похідна другого порядку функції $f$ — похідна від похідної $f$.

Тобто, друга похідна показує, як змінюється швидкість зміни величини; наприклад, друга похідна від положення тіла по часу є миттєвим прискоренням тіла, чи швидкістю, з якою швидкість тіла змінюється відносно часу. В нотації Лейбніца:

$𝐚=\frac{d𝐯}{dt}=\frac{d^2𝒙}{d{t}^2},$

де останній дріб є виразом другої похідної.

На графіку функції друга похідна відповідає кривині чи увігнутості графіку. Графік функції з додатною другою похідною ввігнутий угору, тоді як графік функції з від'ємною другою похідною вигинається протилежним чином.

Друга похідна степеневої функції

Для обчислення другої похідної степеневої функції можна двічі застосувати Шаблон:Нп:

$\frac{d^2}{d{x}^2}\left[x^n\right]=\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}\left[x^n\right]=\frac{d}{dx}\left[n{x}^{n-1}\right]=n\frac{d}{dx}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}$

Приклад

Дано функцію $f(x)=x^3$, похідна $f$ є функцією $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2$.

Друга похідна $f$ є похідною $f^{\prime }$, а саме: $f^{″}(x)=6x$.

Позначення

Друга похідна функції $f\left(x\right)$ зазвичай позначається $f^{″}\left(x\right)$. Тобто $f^{″}=\left(f^{\prime }\right)$.

При використанні нотації Лейбніца, друга похідна залежної змінної $y$ по незалежній змінній $x$ записується як $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$.

Це позначення походить із формули $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$.

Геометричний сенс

Графік $f(x)=\sin \left(2x\right)$ від $-\frac{\pi }{4}$ до $5\frac{\pi }{4}$. Дотична синя, де крива опукла, зелена, де крива увігнута, і червона у точках перегину (0, $\frac{\pi }{2}$ і $\pi$)

Увігнутість

Друга похідна функції $f$ вимірює увігнутість графіку $f$. Функція, друга похідна якої додатна, буде ввігнутою вгору (також називається опуклою), що означає те, що дотична лежатиме нижче графіку функції. Аналогічно, функція, друга похідна якої від'ємна, буде ввігнутою вниз (також називається просто увігнутою), а її дотичні лежатимуть над графіком функції.

Точки перегину

Шаблон:Main Якщо друга похідна функції змінює знак, графік функції змінюватиметься з увігнутого до опуклого або навпаки. Точка, де це відбувається, називається точкою перегину. Припускаючи, що друга похідна неперервна, вона повинна набувати значення нуля в будь-якій точці перегину, хоча не кожна точка, де друга похідна дорівнює нулю, обов'язково є точкою перегину.

Перевірка другої похідної

Відношення між другою похідною та графіком може використовуватися для перевірки, чи є стаціонарна точка для функції (тобто точка, де $f^{\prime }\left(x\right)=0$) локальним максимумом або локальним мінімумом. Конкретно,

• Якщо $f^{″}\left(x\right)<0$ $f$ має локальний максимум у $x$.
• Якщо $f^{″}\left(x\right)>0$ $f$ має локальний мінімум $x$.
• Якщо $f^{″}\left(x\right)=0$, перевірка другої похідної нічого не каже про точку $x$, можлива точка перегину.

Причину того, чому друга похідна дає такі результати, можна побачити шляхом аналогії з реальним світом. Розглянемо транспорт, який спочатку рухається вперед на великій швидкості, але з від'ємним прискоренням. Чітке положення транспорту в точці, де швидкість досягає нуля, буде максимальною відстанню від початкового положення — після цього часу швидкість стане від'ємною, а транспорт розвернеться. Те саме справджується для мінімуму з транспортом, який спочатку має дуже від'ємну швидкість, але додатне прискорення.

Границя

Можливо написати єдину границю для другої похідної:

$f^{″}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-2f\left(x\right)+f(x-h)}{h^2}$

Границя називається Шаблон:Нп. Зауважте, що друга симетрична похідна може існувати навіть тоді, коли (звичайна) друга похідна не існує.

Вираз праворуч можна записати як Шаблон:Нп різниць часток:

$\frac{f(x+h)-2f\left(x\right)+f(x-h)}{h^2}=\frac{\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}-\frac{f\left(x\right)-f(x-h)}{h}}{h}$

Цю границю можна бачити як неперервну версію другої різниці для послідовностей.

Існування вищенаведеної границі не означає того, що функція $f$ має другу похідну. Вищенаведена границя просто дає можливість обчислення другої похідної, але не забезпечує визначення. Як контрприклад, подивимося на знакову функцію $\mathrm{sgn}(x)$:

$\mathrm{sgn}(x)=\{\begin{array}{cc}-1& \text{if }x<0,\\ 0& \text{if }x=0,\\ 1& \text{if }x>0.\end{array}$

Знакова функція не є неперервною в нулі, а тому друга похідна для $x=0$ не існує. Але вищенаведена границя існує для $x=0$:

$\begin{array}{cc}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sgn}(0+h)-2\mathrm{sgn}\left(0\right)+\mathrm{sgn}(0-h)}{h^2}& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-2\cdot 0+(-1)}{h^2}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0}{h^2}\\ & =0\end{array}$

Квадратичне наближення

Так само, як перша похідна пов'язана з лінійними наближеннями, друга похідна пов'язана з найкращими квадратичними наближеннями для функції $f$. Це квадратична функція, перша та друга похідні якої ті самі, що й для $f$ у даній точці. Формулою найкращого квадратичного наближення до функції $f$ коло точки $x=a$ є

$f\left(x\right)\approx f\left(a\right)+f^{\prime }\left(a\right)(x-a)+\frac{1}{2}{f}^{″}\left(a\right){(x-a)}^2$

Це квадратичне наближення є поліномом Тейлора другого порядку для функції в околиці точки a.

Власні значення та вектори другої похідної

Шаблон:Див. також Для багатьох комбінацій крайових умов можна отримати явні формули Шаблон:Нп. Наприклад, нехай $x\in [0,L]$ і гомогенні граничні умови Діріхле, тобто $v\left(0\right)=v\left(L\right)=0$, власні значення є ${\lambda }_j=-\frac{j^2{\pi }^2}{L^2}$ та відповідні власні вектори (також звані власними функціями) є $v_j\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{j\pi x}{L}\right)$. Тут $v^{\prime }{\text{'}}_j\left(x\right)={\lambda }_j{v}_j\left(x\right),j=1,\dots ,\mathrm{\infty }$.

Узагальнення для функцій із кількома змінними

Гессіан

Шаблон:Main Друга похідна узагальнюється до вищих вимірів через notion других часткових похідних. Для функції $f$: $R^3\to R$ вони включають три часткові похідні другого порядку: $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ і $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$ та змішані часткові похідні: $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial z}$ і $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial z}$.

Якщо і зображення, й область визначення функції мають потенціал, то вони вкладаються разом у симетричну матрицю, відому як Гессіан. Власні значення цієї матриці можуть використовуватися для реалізації багатозмінного аналога перевірки другої похідної (див. також тест другої часткової похідної).

Лапласіан

Шаблон:Main Іншим поширеним узагальненням другої похідної є Лапласіан. Це диференційний оператор ${\mathrm{\nabla }}^2$

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$

Лапласіан функції дорівнює дивергенції градієнту та сліду матриці Гессіану.

Див. також

• Цвірінькання, друга похідна Шаблон:Нп
• Тест другої похідної

Література

Друкована

• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Онлайн-книги

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Посилання

• Шаблон:Cite web