Квадрика

Шаблон:Вичитати Квадрика — n-вимірна гіперповерхня в n+1-вимірному просторі, що задана як множина нулів многочлена другого степеня. Якщо ввести координати Шаблон:Nowrap} (в евклідовому або афінному просторі), загальне рівняння квадрики матиме вигляд

$\sum _{i,j=1}^{n+1}{x}_i{Q}_{ij}{x}_j+\sum _{i=1}^{n+1}{P}_i{x}_i+R=0.$

Це рівняння можна записати більш компактно в матричних термінах:

$\mathrm{X}Q{\mathrm{X}}^T+P{\mathrm{X}}^T+R=0$

де Шаблон:Nowrap  — вектор-рядок;
X^T — транспонований вектор-рядок (тобто вектор-стовпець);
Шаблон:Mvar — матриця розміру (n+1)×(n+1) (передбачається, що хоча б один її елемент ненульовий);
Шаблон:Mvar — (n+1)-вимірний вектор-рядок;
Шаблон:Mvar — константа.

Найбільш часто розглядають квадрики над дійсними або комплексними числами. Означення можна поширити на квадрики в проєктивному просторі.

Більш загально, множину нулів системи поліноміальних рівнянь можна розглядати як алгебричний многовид. Таким чином, квадрика є (аффінним або проєктивним) алгебричним многовидом другого степеня і ковимірності 1.

Квадрика в евклідовому просторі

Квадрики на евклідовій площині відповідають випадку n = 1, тобто є плоскими кривими. Зазвичай їх називають не квадриками, а коніками або конічними перетинами.

Еліпс (e = 1/2), парабола (e=1) і гіпербола (e = 2) з фіксованим фокусом F та директрисою.

Квадрики в (тривимірному дійсному) евклідовому просторі мають розмірність n = 2 і називаються поверхнями другого порядку. Провівши ортогональну заміну базису, будь-яку квадрику в евклідовому просторі можна звести до нормальної форми. У тривимірному евклідовому просторі існує 17 таких форм. З них 5 є невиродженими (тобто відповідна їм білінійна форма Q є невиродженою). Вироджені форми можуть мати вигляд двох площин (паралельних, або таких, що перетинаються), двох прямих (паралельних, або таких, що перетинаються), точки, а також є випадок квадрики, яка не містить дійсних точок.

Невироджені дійсні квадрики в евклідовому просторі
Еліпсоїд	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
Сфероїд (спеціальна форма еліпсоїда)	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1$
Сфера (спеціальна форма сфероїда)	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{a^2}=1$
Еліптичний параболоїд	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-z=0$
Круговий параболоїд (спеціальна форма еліптичного параболоїда)	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-z=0$
Гіперболічний параболоїд	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-z=0$
Однопорожнинний гіперболоїд	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
Двопорожнинний гіперболоїд	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$
Вироджені квадрики в евклідовому просторі
Еліптичний конус	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$
Круговий конус (спеціальна форма еліптичного конуса)	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=0$
Еліптичний циліндр	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
Круговий циліндр (спеціальна форма еліптичного циліндра)	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$
Гіперболічний циліндр	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
Параболічний циліндр	$x^2+2ay=0$

Афінний та проєктивний простір

Класифікація квадрик у тривимірному афінному просторі збігається з класифікацією квадрик в евклідовому просторі. Різниця полягає в тому, що будь-які дві квадрики з одного класу можна перевести одну в одну афінним перетворенням, тоді як відповідне ортогональне перетворення існує не завжди (наприклад, еліпсоїд $x^2+y^2+z^2=1$ неможливо перевести рухом в еліпсоїд $2x^2+2y^2+2z^2=1$).

Від квадрики в афінному просторі можна перейти до квадрики в проєктивному просторі, ввівши однорідні координати. Нехай у афінному просторі введені координати $(x_1,x_2,\dots x_{n+1}),$ тоді в рівнянні квадрики достатньо помножити лінійні члени на $x_0,$ а вільний член на $x_0^2.$ Рівняння проєктивної квадрики в однорідних координатах має вигляд

$Q(x)=\sum _{ij}{a}_{ij}{x}_i{x}_j=0.$

Без обмеження загальности можна вважати, що матриця $Q$ симетрична, тобто $a_{ij}=a_{ji}.$ Проєктивна квадрика називається невиродженою, якщо відповідна їй квадратична форма невирождена.

У дійсному проєктивному просторі, відповідно до закону інерції, будь-яку невироджену квадратичну форму можна звести (проєктивним перетворенням) до вигляду

$Q(x)=\pm x_0^2\pm x_1^2\pm \cdots \pm x_{n+1}^2$

Оскільки сигнатура квадратичної форми є її інваріантом, в розмірності n = 2 існує рівно три класи еквівалентности:

$Q(x)=\{\begin{array}{c}{x}_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2\\ x_0^2+x_1^2+x_2^2-x_3^2\\ x_0^2+x_1^2-x_2^2-x_3^2\end{array}$

Еліпсоїд, еліптичний параболоїд і двопорожнинний гіперболоїд належать другому класу, а гіперболічний параболоїд і однопорожнинний гіперболоїд — третьому (останні дві квадрики є прикладами лінійчатих поверхонь). Жодна квадрика в дійсному проєктивному просторі не належить першому класу, тому що відповідне рівняння визначає точку, а не поверхню. У комплексному проєктивному просторі всі невироджені квадрики еквівалентні.

Імовірність і статистика

Еліптичний розподіл, узагальнює багатовимірний нормальний розподіл і використовується в галузі фінансів, може бути визначеним з точки зору його функцій щільності. Коли він існує, функції щільності F мають структуру:

$f(x)=k\cdot g((x-\mu ){\mathrm{\Sigma }}^{-1}(x-\mu {)}^T)$

де $k$ це масштабний коефіцієнт, $x$ це $n$-мірний випадковий вектор-рядок з середнім вектором $\mu$, $\mathrm{\Sigma }$ це позитивна матриця, яка пропорційна коваріаційній матриці, якщо остання існує, та $g$ є функцією, що відображає від невід'ємних до невід'ємних чисел кінцеву площу під кривою. Багатовимірний нормальний розподіл є окремим випадком, в якому$g(z)=e^{-z/2}$ для квадратичної форми $z$.

Таким чином, функція щільності є скалярним перетворенням квадратичного виразу. Крім того, рівняння для будь-якої поверхні з щільністю заявляє, що квадратичний вираз дорівнює деякій константі, що відносяться до цього значення щільності.