Гіперболоїд

Однопорожнинний гіперболоїд

Двопорожнинний гіперболоїд

Гіперболо́їд (Шаблон:Lang-el — гіпербола, і Шаблон:Lang-el — подібність) — вид поверхні другого порядку в тривимірному просторі, що задається в Декартових координатах рівнянням

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ (однопорожнинний гіперболоїд), де a і b — дійсні півосі, а c — уявна піввісь;

або

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$ (двопорожнинний гіперболоїд), де a і b — уявні півосі, а c — дійсна піввісь.

Якщо a = b, то така поверхня зветься — гіперболоїд обертання. Однопорожнинний гіперболоїд обертання можна отримати обертанням гіперболи навколо її уявної осі, двопорожнинний — навколо дійсної. Двопорожнинний гіперболоїд обертання також є геометричним місцем точок P, модуль різниці відстаней від яких до двох заданих точок A і B є сталим: $|AP-BP|=const$. У такому випадку точки A і B звуться фокусами Гіперболоїда.

Однопорожнинний гіперболоїд є двічі лінійчатою поверхнею. Якщо він є гіперболоїдом обертання, то його можна отримати обертанням прямої навколо іншої прямої, що є мимобіжною з нею. Цю властивість лінійчатих однопорожнинних гіперболоїдів використовують в архітектурі. Зокрема, вежа Шухова в Москві є гіперболоїдною конструкцією. Вона складена саме з гіперболоїдів, що утворені прямими стрижнями.

Більш, ніж у трьох вимірах

Уявні гіперболоїди — звичне явище в математиці високих розмірностей. Наприклад, у псевдо-Евклідовому просторі розглянемо квадратичну форму:

$q(x)=(x_1^2+\cdots +x_k^2)-(x_{k+1}^2+\cdots +x_n^2),k<n.$

Якщо c є довільною сталою, то частина простору, в межах

$\{x:q(x)=c\}$

називається гіперболоїдом. Випадок, коли c = 0 є виродженим.

Кривина та тензор Річчі гіперболоїда

Геометрію гіперболоїда можна просто описати, представивши його вкладеним в фіктивний чотиривимірний простір:

$x_1^2-x_2^2-x_3^2-x_4^2=R^2,d{l}^2=-d{x}_1^2+d{x}_2^2+d{x}_3^2+d{x}_4^2(1)$.

Введенням координат

$x_1=R\text{ch}(\psi ),x_2=R\cos (\phi )\text{sh}(\psi )\sin (\theta ),x_3=R\sin (\phi )\text{sh}(\psi )\sin (\theta ),x_4=R\cos (\theta )\text{sh}(\psi )$

можна задовольнити $(1)$, а елементи довжин на поверхні матимуть вигляд (елементарно перевіряється підстановкою)

$d{l}^2=R^2(d{\psi }^2+{\text{sh}}^2(\psi )(d{\theta }^2+{\sin }^2(\theta )d{\phi }^2))(2)$.

Як видно, метричний тензор має специфічну структуру: є діагональним, перший діагональний елемент рівен одиниці, другий залежить від першої змінної, третій — від першої і другої, а від третьої змінної залежності немає, що, деякою мірою, відповідає ізотропії простору.

Виходячи із цього, можна визначити вирази для символів Кристоффеля: маючи загальний вираз

${\mathrm{\Gamma }}_{jl}^k=\frac{1}{2}{g}^{km}({\partial }_l{g}_{mj}+{\partial }_j{g}_{ml}-{\partial }_m{g}_{jl})$,

де метричний тензор $g_{lj}$ має вигляд

$g_{lj}=\text{diag}(R^2,R^2{\text{sh}}^2(\psi ),R^2{\text{sh}}^2(\psi ){\sin }^2(\theta )),g^{lj}=\text{diag}(R^{-2},R^{-2}{\text{sh}}^{-2}(\psi ),R^{-2}{\text{sh}}^{-2}(\psi ){\sin }^{-2}(\theta ))(3)$,

для частинних випадків виразів можна отримати

${\mathrm{\Gamma }}_{ll}^k=\frac{1}{2}{g}^{km}(2{\partial }_l{g}_{ml}-{\partial }_m{g}_{ll})=g^{km}{\partial }_l{g}_{ml}-\frac{1}{2}{g}^{kk}{\partial }_k{g}_{ll}=-\frac{1}{2}{g}^{kk}{\partial }_k{g}_{ll}(4)$;

${\mathrm{\Gamma }}_{kk}^k=\frac{1}{2}{g}^{km}(2{\partial }_k{g}_{km}-{\partial }_m{g}_{kk})=\frac{1}{2}{g}^{kk}{\partial }_k{g}_{kk}=0(5)$;

оскільки, в силу структури метричних тензорів, ${\partial }_0{g}_{00}={\partial }_h{g}_{hh}=0$;

${\mathrm{\Gamma }}_{lk}^k=\frac{1}{2}{g}^{km}({\partial }_l{g}_{mk}+{\partial }_k{g}_{ml}-{\partial }_m{g}_{lk})=\frac{1}{2}{g}^{kk}{\partial }_l{g}_{kk}(6)$;

${{\mathrm{\Gamma }}_{lj}^k}^{(3)}=\frac{1}{2}{g}^{km}({\partial }_l{g}_{mj}+{\partial }_j{g}_{ml}-{\partial }_m{g}_{lj})=\frac{1}{2}{g}^{kk}{\partial }_l{g}_{kk}{\delta }_{kj}+\frac{1}{2}{g}^{kk}{\partial }_j{g}_{kk}{\delta }_{kl}-\frac{1}{2}{g}^{kk}{\partial }_k{g}_{jl}{\delta }_{jl}={\mathrm{\Gamma }}_{lk}^k{\delta }_j^k+{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^k{\delta }_l^k+{\mathrm{\Gamma }}_{ll}^k{\delta }_j^l(7)$.

Тепер можна спростити (якомога більше зменшити кількість сум) вираз для тензора Річчі: маючи загальне визначення,

$R_{lj}^{(3)}={\partial }_k{\mathrm{\Gamma }}_{jl}^k-{\partial }_l{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^k+{\mathrm{\Gamma }}_{jl}^k{\mathrm{\Gamma }}_{k\sigma }^{\sigma }-{\mathrm{\Gamma }}_{l\sigma }^k{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^{\sigma }(8)$,

та вирази $(4)-(7)$,

для тензора можна отримати (сума лише по індексах $k,\sigma$)

$R_{lj}^{(3)}={\partial }_j{\mathrm{\Gamma }}_{lj}^j+{\partial }_l{\mathrm{\Gamma }}_{jl}^l+{\partial }_k{\mathrm{\Gamma }}_{ll}^k{\delta }_j^l-{\partial }_l{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^k+{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^k{\mathrm{\Gamma }}_{lj}^j+{\mathrm{\Gamma }}_{lk}^k{\mathrm{\Gamma }}_{jl}^l+{\mathrm{\Gamma }}_{k\sigma }^{\sigma }{\mathrm{\Gamma }}_{ll}^k{\delta }_j^l-{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^k{\mathrm{\Gamma }}_{lk}^k-{\mathrm{\Gamma }}_{jl}^l{\mathrm{\Gamma }}_{lj}^j-2{\mathrm{\Gamma }}_{kj}^l{\mathrm{\Gamma }}_{ll}^k{\delta }_j^l-{\mathrm{\Gamma }}_{ll}^j{\mathrm{\Gamma }}_{jj}^l(9)$. Шаблон:Hider Тепер можна застосувати спрощений вигляд для тензора Річчі до метрики описаних вище просторів. Наприклад, можна взяти гіперболічний простір. Треба обчислити компоненти $R_{ij}$. Спочатку доведеться отримати, користуючись $(4)-(7)$, явний вигляд для символів Кристоффеля:

${\mathrm{\Gamma }}_{11}^1={\mathrm{\Gamma }}_{22}^2={\mathrm{\Gamma }}_{33}^3={\mathrm{\Gamma }}_{23}^1={\mathrm{\Gamma }}_{12}^3={\mathrm{\Gamma }}_{21}^1={\mathrm{\Gamma }}_{31}^1={\mathrm{\Gamma }}_{32}^2={\mathrm{\Gamma }}_{11}^2={\mathrm{\Gamma }}_{11}^3=0$,

${\mathrm{\Gamma }}_{13}^3=\frac{1}{2}{g}^{33}{\partial }_1(g_{33})=\frac{2sh(\psi )\text{ch}(\psi )}{2{\text{sh}}^2(\psi )}=\text{cth}(\psi ),{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2={\mathrm{\Gamma }}_{13}^3$,

${\mathrm{\Gamma }}_{22}^1=-\frac{1}{2}{g}^{11}{\partial }_1(g_{22})=-\text{sh}(\psi )\text{ch}(\psi )$,

${\mathrm{\Gamma }}_{23}^3=\frac{1}{2}{g}^{33}{\partial }_2(g_{33})=\text{ctg}(\theta )$,

${\mathrm{\Gamma }}_{33}^1=-\frac{1}{2}{g}^{11}{\partial }_1(g_{33})=-{\sin }^2(\theta )\text{sh}(\psi )\text{ch}(\psi )$,

${\mathrm{\Gamma }}_{33}^2=-\frac{1}{2}{g}^{22}{\partial }_2(g_{33})=-\sin (\theta )\cos (\theta )$.

Тоді, наприклад, компонента 11 тензора, із урахуванням цих виразів та $(9)$, має вираз

$R_{11}=-{\partial }_1{\mathrm{\Gamma }}_{1k}^k-{\mathrm{\Gamma }}_{1k}^k{\mathrm{\Gamma }}_{1k}^k=-{\partial }_1({\mathrm{\Gamma }}_{12}^2+{\mathrm{\Gamma }}_{13}^3)-({\mathrm{\Gamma }}_{12}^2{)}^2-({\mathrm{\Gamma }}_{13}^3{)}^2=-2{\partial }_1\text{cth}(\psi )-2{\text{cth}}^2(\psi )=\frac{2}{{\text{sh}}^2(\psi )}-2{\text{cth}}^2(\psi )=-2$.

Компонента 22:

$R_{22}={\partial }_k{\mathrm{\Gamma }}_{22}^k-{\partial }_2{\mathrm{\Gamma }}_{2k}^k+{\mathrm{\Gamma }}_{k\sigma }^{\sigma }{\mathrm{\Gamma }}_{22}^k-({\mathrm{\Gamma }}_{2k}^k{)}^2-2{\mathrm{\Gamma }}_{2k}^2{\mathrm{\Gamma }}_{22}^k={\partial }_1{\mathrm{\Gamma }}_{22}^1-{\partial }_2{\mathrm{\Gamma }}_{23}^3+({\mathrm{\Gamma }}_{22}^1{\mathrm{\Gamma }}_{1\sigma }^{\sigma }+{\mathrm{\Gamma }}_{22}^3{\mathrm{\Gamma }}_{3\sigma }^{\sigma })-({\mathrm{\Gamma }}_{23}^3{)}^2-2({\mathrm{\Gamma }}_{12}^2{\mathrm{\Gamma }}_{22}^1+{\mathrm{\Gamma }}_{32}^2{\mathrm{\Gamma }}_{22}^3)=$

$=-\text{ch}(2\psi )+\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}+2{\mathrm{\Gamma }}_{22}^1{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2-{\text{ctg}}^2(\theta )+2{\text{ch}}^2(\psi )=-\text{ch}(2\psi )+1-2{\text{ch}}^2(\psi )+2{\text{ch}}^2(\psi )=-{\text{sh}}^2(\psi )$.

Компонента 33:

$R_{33}={\partial }_k{\mathrm{\Gamma }}_{33}^k-{\partial }_3{\mathrm{\Gamma }}_{3k}^k+{\mathrm{\Gamma }}_{k\sigma }^{\sigma }{\mathrm{\Gamma }}_{33}^k-({\mathrm{\Gamma }}_{3k}^k{)}^2-2{\mathrm{\Gamma }}_{k3}^3{\mathrm{\Gamma }}_{3k}^3=$

$=({\partial }_1{\mathrm{\Gamma }}_{33}^1+{\partial }_2{\mathrm{\Gamma }}_{33}^2)+({\mathrm{\Gamma }}_{1\sigma }^{\sigma }{\mathrm{\Gamma }}_{33}^1+{\mathrm{\Gamma }}_{2\sigma }^{\sigma }{\mathrm{\Gamma }}_{33}^2)-2({\mathrm{\Gamma }}_{13}^3{\mathrm{\Gamma }}_{33}^1+{\mathrm{\Gamma }}_{23}^3{\mathrm{\Gamma }}_{33}^2)=$

$=-{\sin }^2(\theta )ch(2\psi )-\cos (2\theta )-2{\sin }^2(\theta ){\text{ch}}^2(\psi )-{\cos }^2(\theta )+2{\sin }^2(\theta ){\text{ch}}^2(\psi )+2{\cos }^2(theta)=|\text{ch}(2\psi )=1+2{\text{sh}}^2(\psi )|=$

$=-2{\sin }^2(\theta ){\text{sh}}^2(\psi )-{\sin }^2(\theta )-{\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=-2{\sin }^2(\theta ){\text{sh}}^2(\psi )$.

Аналогічні викладки (перевіряються повністю ідентично попереднім) дають

$R_{ij}=0,i\ne j$.

Отже, для гіперболоїда

${R_{ij}}_1=-\frac{2}{R^2}{g}_{ij}(10)$.

Згортаючи тензор Річчі із метричним тензором (відповідно до визначення скалярної кривини), можна отримати, що для гіперболоїда скалярна кривина рівна

$R_1=-\frac{2}{R^2}{g}_{ij}{g}^{ij}=-\frac{6}{R^2}$.

Отже, гіперболічний простір — простір з постійною скалярною кривиною.

У мистецтві

В архітектурі

Проект 350-метрової вежі В. Г. Шухова, 1919

Лінійчата конструкція, що має форму однополостного гіперболоїда, є жорсткої: якщо балки з'єднати шарнірно, гіперболоїдна конструкція все одно буде зберігати свою форму під дією зовнішніх сил.

Для високих споруд основну небезпеку несе вітрове навантаження, а у ґратчастої конструкції вона невелика. Ці особливості роблять гіперболоїдні конструкції міцними, незважаючи на невисоку матеріаломісткість.

Прикладами гіперболоїдних конструкцій є:

• Вежа Шухова
• Аджигольський маяк
• Телевежа Гуанчжоу
• Aspire Tower

У літературі

• Гіперболоїд інженера Гаріна (хоча насправді це мав бути параболоїд)

Див. також

• Параболоїд — інший вид поверхні другого порядку
• Гіперболічний параболоїд
• Гіперболоїдні конструкції

Посилання

• Шаблон:Клепко ВМ
• http://mathworld.wolfram.com/Hyperboloid.html Шаблон:Webarchive