Гамма-функція

Гамма-функція на дійсній частині області значень

Гамма-функція мероморфна на всій комплексній площині

Гамма-функція (позначають великою літерою грецького алфавіту — Гамма, Шаблон:Math) — один зі способів узагальнити функції факторіала до дійсних і комплексних чисел, із зсувом її аргумента на 1. Даніель Бернуллі вивів цю функцію для Шаблон:Math, що є додатнім цілим числом,

$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$

Хоча існують і інші подібні розширення, ця конкретна виознака найбільш популярна й уживана. Гамма-функція визначена для всіх комплексних чисел, окрім від'ємних цілих. Для комплексних чисел із додатною дійсною частиною, гамма-функцію виозначують через збіжний невластивий інтеграл:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{z-1}{e}^{-x}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\ln \frac{1}{x})}^{z-1}dx$

Цю інтегральну функцію за допомогою аналітичного продовження можна розширити для всіх комплексних чисел, крім не додатних цілих (де функція має прості полюси), в результаті чого отримують мероморфну функцію яку називають гамма-функцією. Вона не має нулів, тож взаємна гамма функція Шаблон:Math ― голоморфна функція. Гамма-функція відповідає перетворенню Мелліна для від'ємної показникової функції:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\{ℳe^{-x}\}(z)$

Гамма-функція ― складова частина різних функцій розподілу імовірностей, тож нею користуються в таких областях як теорія імовірностей і статистика, а також у комбінаториці.

Мотивування

Гамма-функція інтерполює функцію факторіала для не цілих значень.

Гамма функцію можна розглядати як розв'язок такої задачі інтерполяції:

«Необхідно знайти гладку функцію яка сполучає точки Шаблон:Math задані відношенням Шаблон:Math при додатних цілих значеннях змінної Шаблон:Math.»

Графік перших декількох точок факторіалів дозволяє припустити, що така крива можлива, але було б бажано знайти формулу, яка точно описує цю криву, в якій кількість операцій не залежить від розміру Шаблон:Math. Просту формулу для факторіалу, Шаблон:Math, не можна застосувати напряму для не цілих значень Шаблон:Math, адже вона дійсна лише коли Шаблон:Math ― натуральне число (тобто, додатнє ціле). Просто кажучи, не існує простого розв'язку для факторіалів; ніякі нескінченні поєднання додавання, множення, піднесення до степеня, показникових функцій або логарифмів, які б були здатні виразити функцію  Шаблон:Math; але можна знайти загальну формулу для факторіалів за допомогою таких засобів як інтеграли і границі із диференціального та інтегрального числення. Хороший розв'язок цієї задачі ― гамма функція.

Існує багато способів поширити факторіал до не цілих значень: через множину окремих точок можна провести нескінченну кількість різних кривих. Гамма-функція ― одним із найкорисніших розв'язків цієї задачі на практиці, бо вона аналітична (крім області значень не додатних цілих). Ще одна важлива особливість цієї функції ― це те, що вона задовольняє рекурентне співвідношення, яке визначає аналогічну властивість функції факторіалу,

$f(1)=1,$

$f(x+1)=xf(x),$

для Шаблон:Math, що дорівнює будь-якому додатному дійсному числу. Це дозволяє множити її із будь-якою періодичною аналітичною функцією, яка матиме значення одиниці для додатних цілих, наприклад така функція як Шаблон:Math.

Виознака

Основна виознака

Запис Шаблон:Math ввів Адрієн-Марі Лежандр. Якщо дійсна частина комплексного числа Шаблон:Math додатня (Шаблон:Math), тоді інтеграл

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{z-1}{e}^{-x}dx$

є абсолютно збіжним, і відомий як інтеграл Ойлера другого роду (інтеграл Ойлера першого роду виозначує бета-функцію). Застосувавши інтегрування частинами, можна побачити, що:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(z+1)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^z{e}^{-x}dx\\ & =[-x^z{e}^{-x}{]}_0^{\mathrm{\infty }}+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}z{x}^{z-1}{e}^{-x}dx\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-x^z{e}^{-x})-(0e^{-0})+z\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{z-1}{e}^{-x}dx\end{array}$

З'ясувавши, що $-x^z{e}^{-x}\to 0$, коли $x\to \mathrm{\infty },$

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(z+1)& =z\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{z-1}{e}^{-x}dx\\ & =z\mathrm{\Gamma }(z)\end{array}$

Можемо розрахувати $\mathrm{\Gamma }(1)\text{:}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(1)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{1-1}{e}^{-x}dx\\ & =[-e^{-x}{]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-e^{-x})-(-e^{-0})\\ & =0-(-1)\\ & =1\end{array}$

Маємо що $\mathrm{\Gamma }(1)=1$ і $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n),$

$\mathrm{\Gamma }(n)=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)=(n-1)!$

для всіх додатних цілих чисел Шаблон:Mvar. Це ― приклад доведення методом математичної індукції.

Інші виознаки

Функція $\mathrm{\Gamma }(z)$ ― неперервне продовження факторіалу $n!=1,2,...,n,$ визначеного лише для значень $n=1,2,...,$ на усю площину $ℂ$ комплексної змінної $z=(x,y)=x+iy.$ Функцію Ойлера $\mathrm{\Gamma }(z)$ можна виозначити однією з наведених нижче формул:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}{t}^{z-1}dt,\mathrm{R}\mathrm{e}z=x>0,$

$\mathrm{\Gamma }(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k!}\frac{1}{z+k}+\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}{t}^{z-1}dt,\mathrm{\forall }z\ne 0,-1,...$

$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{z(z+1)\cdot \cdot \cdot (z+k-1)}{k!k^{z-1}}.$

Вона задовільняє наступним співвідношенням:

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z),$

$\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(1-z)=\frac{\pi }{\sin \pi z},$

$2^{2z-1}\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(z+\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(2z).$

Позаяк $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!,$ то $\mathrm{\Gamma }(z+1)$ позначають як $z!$ Відповідно до виознаки факторіалу, $z!=\mathrm{\Gamma }(z+1),0!=1.$

Біноміальний коефіцієнт $C_z^n$ виражають через гамма-функцію як

$C_z^n=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+1)}{n!\mathrm{\Gamma }(z-n+1)}=\frac{z!}{n!(z-n)!}=\frac{(-1{)}^n\mathrm{\Gamma }(n-z)}{n!\mathrm{\Gamma }(-z)}.$

Можна також подати інтеграл через гамма-функцію

$B(z,\vartheta )=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{z-1}(1-t{)}^{\vartheta -1}dt,\mathrm{R}\mathrm{e}\vartheta >0,$

який має назву Бета-функції. Таким чином, $B(z,\vartheta )=\frac{\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(\vartheta )}{\mathrm{\Gamma }(z+\vartheta )}.$

Ойлерова виознака як нескінченного добутку

Шукаючи наближення для Шаблон:Math для комплексного числа Шаблон:Math, виявляється, що простіше спочатку порахувати Шаблон:Math для деякого великого цілого числа Шаблон:Math, а потім використати це, щоб наблизити значення для Шаблон:Math, після чого використати рекурентну рівність Шаблон:Math у зворотньому порядку Шаблон:Math разів, для того, щоб зрештою наблизити Шаблон:Math. Крім того, цей наблиз стає точним для границі, коли Шаблон:Math прямує до нескінченності.

Зокрема, для деякого цілого числа Шаблон:Mvar, буде так, що

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!(n+1{)}^m}{(n+m)!}=1,$

і ми хочемо, щоб та сама рівність справджувалася, якщо довільне ціле Шаблон:Mvar замінити на довільне комплексне число Шаблон:Mvar

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!(n+1{)}^z}{(n+z)!}=1.$

Помноживши обидві частини на Шаблон:Math, отримаємо

$\begin{array}{cc}z!& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n!\frac{z!}{(n+z)!}(n+1{)}^z\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1\cdots n}{(1+z)\cdots (n+z)}(n+1{)}^z\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1\cdots n}{(1+z)\cdots (n+z)}{[(1+\frac{1}{1})(1+\frac{1}{2})\cdots (1+\frac{1}{n})]}^z\\ & =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left[\frac{1}{1+\frac{z}{n}}{(1+\frac{1}{n})}^z\right].\end{array}$

Ця формула із нескінченним добутком збіжна для всіх комплексних чисел Шаблон:Mvar крім від'ємних цілих, адже за спроби використати рекурентне відношення Шаблон:Math в зворотньому порядку до значення Шаблон:Math призведе до ділення на нуль.

Подібно і гамма-функція, визначена, за Ойлером, як нескінченний добуток буде справедливою для всіх комплексних чисел $z$ за виключенням недодатних цілих:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{1}{z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(1+\frac{1}{n})}^z}{1+\frac{z}{n}}.$

При такій конструкції, гамма-функція ― єдина функція, яка одночасно задовольняє рівнянням $\mathrm{\Gamma }(1)=1$, $\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z)$ для всіх комплексних чисел $z$ крім недодатних цілих, і $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mathrm{\Gamma }(n+z)}{(n-1)!n^z}=1$ для всіх комплексних чисел $z$.

Рівняння $\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(z+1)}{z}$ можна використати для однозначного розширення інтегральної формули для Шаблон:Math до мероморфної функції, визначеної для всіх комплексних чисел Шаблон:Mvar, крім цілих, що менші або рівні нулю. Саме цю розширену версію зазвичай називають гамма-функцією.

Виознака Вейєрштрасса

Виознака гамма-функції, яку дав Вейєрштрасс, також справедлива для всіх комплексних чисел Шаблон:Math, крім недодатних цілих:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{z}{n})}^{-1}{e}^{z/n}$

де $\gamma \approx 0.577216$ — Стала Ейлера—Маскероні.

Множина визначення

Інтеграл, яким виозначують гамма-функцію ― невластивий, і збігається за $\text{Re }z>0$. Однак, скориставшись рекурентним співвідношенням

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z)$

її можна продовжити на всю комплексну площину, крім точок $z=-n$, де $n=0,1,2\dots$ .

Гамма-функція ― неперервною функцією з простору неперервних функціоналів Чебишова. Вона стійка за Адамаром, її можна виразити за третім законом Лопіталя.

Часткові значення

Особливо важливі часткові значення гама-функції в певних точках

$\mathrm{\Gamma }(1)=0!=1$ — за виознакою.

$\mathrm{\Gamma }(2)=1$

$\mathrm{\Gamma }(1/2)=\sqrt{\pi }$

$\mathrm{\Gamma }(3/2)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$

$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$ — див. також факторіал.

$\mathrm{\Gamma }(n)\mathrm{\Gamma }(1-n)=\frac{\pi }{\sin (n\pi )}$

$\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2})=1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2n-3)(2n-1)\frac{\sqrt{\pi }}{2^n}$, де $n$ ціле додатне число

Властивості

Загальні

Важливим функціональним рівнянням для гамма-функції Ойлерова Шаблон:Нп

$\mathrm{\Gamma }(1-z)\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{\pi }{\sin (\pi z)},z\in ̸\mathbb{Z}$

з якої випливає:

$\mathrm{\Gamma }(\epsilon -n)=(-1{)}^{n-1}\frac{\mathrm{\Gamma }(-\epsilon )\mathrm{\Gamma }(1+\epsilon )}{\mathrm{\Gamma }(n+1-\epsilon )},$

і Шаблон:Нп

$\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(z+\frac{1}{2})=2^{1-2z}\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(2z).$

Оскільки $e^{-t}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{t}{n})}^n,$

гамма-функцію можна представити як

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{n}{\int }}{t}^{z-1}{(1-\frac{t}{n})}^{n}dt.$

Проінтегрувавши по частинам $n-1$ разів, отримаємо

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{nz}\frac{n-1}{n(z+1)}\frac{n-2}{n(z+2)}\cdots \frac{1}{n(z+n-1)}\underset{0}{\overset{n}{\int }}{t}^{z+n-1}dt,$

що дорівнює

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!}{n}\prod _{k=0}^n(z+k{)}^{-1}{n}^{z+n}.$

Це можна переписати наступним чином

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^z}{z}\prod _{k=1}^n\frac{k}{z+k}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^z}{z}\prod _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{z}{k}}.$

Потім, використавши функціональне рівняння для гамма-функції, отримаємо

$-z\mathrm{\Gamma }(-z)\mathrm{\Gamma }(z)=\mathrm{\Gamma }(1-z)\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{z}\prod _{k=1}^n\frac{1}{1-\frac{z^2}{k^2}}.$

Використавши розкладання у ряд Фур'є, функцію $\cos (ax)$ можна представити наступним чином

$\cos (ax)=\frac{\sin (\pi a)}{\pi a}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\pi }(\frac{\sin (\pi (n+a))}{n+a}+\frac{\sin (\pi (n-a))}{n-a})\cos (nx),$

де $a\in ̸\mathbb{Z}$ і $x\in [-\pi ,\pi ]$. Використавши тригонометричні тотожності, цей вираз можна спростити наступним чином:

$\cos (ax)=\frac{\sin (\pi a)}{\pi a}+\frac{2a\sin (\pi a)}{\pi }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n\cos (nx)}{a^2-n^2}.$

Якщо прийняти, що $x=\pi$ і розділити рівняння на $\sin (\pi a)$ отримаємо

$\pi \cot (\pi a)=\frac{1}{a}+2a\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a^2-n^2}.$

Тепер виконаємо заміну $a=\frac{m}{\pi }$, щоб отримати

$\cot (m)=\frac{1}{m}+2m\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^2-n^2{\pi }^2}.$

Проінтегрувавши обидві сторони по інтервалу від $0$ до $z$ і звівши до степеня, отримаємо

$\frac{\sin (z)}{z}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z^2}{n^2{\pi }^2})=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z^2}{k^2{\pi }^2}).$

Тоді

$\frac{\pi }{\sin (\pi z)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{z}\prod _{k=1}^n\frac{1}{1-\frac{z^2}{k^2}}.$

Звідси випливає формула відображення Ейлера:

$\mathrm{\Gamma }(1-z)\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{\pi }{\sin (\pi z)},z\in ̸\mathbb{Z}.$

Бета-функцію можна представити наступним чином

$\mathrm{B}(z_1,z_2)=\frac{\mathrm{\Gamma }(z_1)\mathrm{\Gamma }(z_2)}{\mathrm{\Gamma }(z_1+z_2)}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{z_1-1}(1-t{)}^{z_2-1}dt.$

Якщо задати $z_1=z_2=z$ отримаємо

$\frac{{\mathrm{\Gamma }}^2(z)}{\mathrm{\Gamma }(2z)}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{z-1}(1-t{)}^{z-1}dt.$

Виконавши заміну $t=\frac{1+x}{2}$ отримаємо

$\frac{{\mathrm{\Gamma }}^2(z)}{\mathrm{\Gamma }(2z)}=\frac{1}{2^{2z-1}}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{(1-x^2)}^{z-1}dx.$

Функція ${(1-x^2)}^{z-1}$ є парною, оскільки

$2^{2z-1}{\mathrm{\Gamma }}^2(z)=2\mathrm{\Gamma }(2z)\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(1-x^2)}^{z-1}dx.$

Тепер припустимо

$\mathrm{B}(\frac{1}{2},z)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{\frac{1}{2}-1}(1-t{)}^{z-1}dt,t=s^2.$

Тоді

$\mathrm{B}(\frac{1}{2},z)=2\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(1-s^2)}^{z-1}ds=2\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(1-x^2)}^{z-1}dx.$

Звідси випливає

$2^{2z-1}{\mathrm{\Gamma }}^2(z)=\mathrm{\Gamma }(2z)\mathrm{B}(\frac{1}{2},z).$

Оскільки

$\mathrm{B}(\frac{1}{2},z)=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z+\frac{1}{2})},\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi },$

звідси отримаємо формулу подвоєння Лагранжа:

$\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(z+\frac{1}{2})=2^{1-2z}\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(2z).$

Формула подвоєння ― особливий випадок Шаблон:Нп(див., Eq. 5.5.6)

$\prod _{k=0}^{m-1}\mathrm{\Gamma }(z+\frac{k}{m})=(2\pi {)}^{\frac{m-1}{2}}{m}^{\frac{1}{2}-mz}\mathrm{\Gamma }(mz).$

Проста, але корисною властивість, що випливає з виознаки границі:

$\overline{\mathrm{\Gamma }(z)}=\mathrm{\Gamma }(\bar{z})\Rightarrow \mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(\bar{z})\in ℝ.$

Зокрема, при Шаблон:Math, цей добуток дорівнює

$\begin{array}{cc}|\mathrm{\Gamma }(a+bi){|}^2& =|\mathrm{\Gamma }(a){|}^2\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+\frac{b^2}{(a+k{)}^2}}\\ |\mathrm{\Gamma }(bi){|}^2& =\frac{\pi }{b\sinh (\pi b)}\\ |\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+bi){|}^2& =\frac{\pi }{\cosh (\pi b)}\end{array}$

Одним із самих відомих значень гамма-функції для нецілого аргумента є:

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi },$

яке отримують, якщо задати Шаблон:Math у формулах відображення або подвоєння, використавши рівняння для бета функції із Шаблон:Math, або виконавши заміну Шаблон:Math у виознаці інтегралу гамма-функції, із чого зрештою отримають Гаусів інтеграл. У загальному випадку, для невід'ємних цілих чисел Шаблон:Math маємо:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+n)& =\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi }=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi }=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-\frac{1}{2}}{n})n!\sqrt{\pi }\\ \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-n)& =\frac{(-4{)}^{n}n!}{(2n)!}\sqrt{\pi }=\frac{(-2{)}^n}{(2n-1)!!}\sqrt{\pi }=\frac{\sqrt{\pi }}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\frac{1}{2}}{n})n!}\end{array}$

де Шаблон:Math позначає подвійний факторіал від n. Коли Шаблон:Math, Шаблон:Math.

Може здаватися, що поглянувши на формулу результат Шаблон:Math можна узагальнити для інших окремих значень Шаблон:Math, де Шаблон:Math ― раціональне число. Однак ці числа не можна виразити через самих себе в рамках елементарних функцій. Доведено, що Шаблон:Math є трансцендентним числом і алгебрично незалежним від Шаблон:Math для будь-якого цілого Шаблон:Math і будь-якого дробу із Шаблон:Math. У загальному випадку, для розрахунку значень гамма-функції необхідно застосовувати числове наближення.

Інша корисна границя для асимптотичного наближення:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha )}{\mathrm{\Gamma }(n)n^{\alpha }}=1,\alpha \in ℂ$

Похідні гамма-функції можна описати за допомогою полігамма-функції. Наприклад:

${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)=\mathrm{\Gamma }(z){\psi }_0(z).$

Для додатного цілого числа Шаблон:Math похідну гамма-функції можна розрахувати наступним чином (тут Шаблон:Math це Стала Ойлера—Маскероні):

${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(m+1)=m!(-\gamma +\sum _{k=1}^m\frac{1}{k}).$

Для Шаблон:Math Шаблон:Math-а похідна гамма-функції дорівнює:

Похідна функції Шаблон:Math

$\frac{d^n}{d{x}^n}\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}(\ln t{)}^{n}dt.$

(Це можна отримати за допомогою диференціювання інтегралу для гамма-функції по змінній Шаблон:Math, і використавши інтегральне правило Лейбніца.)

Використавши рівняння

${\mathrm{\Gamma }}^{(n)}(1)=(-1{)}^{n}n!\sum _{\pi ⊢n}\prod _{i=1}^r\frac{{\zeta }^{*}(a_i)}{k_i!\cdot a_i}{\zeta }^{*}(x):=\{\begin{array}{cc}\zeta (x)& x\ne 1\\ \gamma & x=1\end{array}$

де Шаблон:Math — дзета-функція Рімана, із розбиттям

$\pi =(\underset{k_1}{\underbrace{a_1,\dots ,a_1}},\dots ,\underset{k_r}{\underbrace{a_r,\dots ,a_r}}),$

зокрема маємо

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{1}{z}-\gamma +\frac{1}{2}({\gamma }^2+\frac{{\pi }^2}{6})z-\frac{1}{6}({\gamma }^3+\frac{\gamma {\pi }^2}{2}+2\zeta (3))z^2+O(z^3).$

Нерівності

Якщо обмежитися додатними цілими числами, гамма-функція є суворо логарифмічно опуклою функцією. Цю властивість можна визначити за допомогою трьох наведених еквівалентних нерівностей:

• Для будь-яких двох додатних дійсних чисел Шаблон:Math і Шаблон:Math, і для будь-якого Шаблон:Math,

$\mathrm{\Gamma }(t{x}_1+(1-t)x_2)\le \mathrm{\Gamma }(x_1{)}^t\mathrm{\Gamma }(x_2{)}^{1-t}.$

Крім того, ця нерівність буде точною для Шаблон:Math.

• Для будь-яких двох додатних дійсних чисел Шаблон:Math і Шаблон:Math при Шаблон:Math,

${\left(\frac{\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x)}\right)}^{\frac{1}{y-x}}>\exp \left(\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}\right).$

• Для будь-якого додатного дійсного числа Шаблон:Math,

${\mathrm{\Gamma }}^{″}(x)\mathrm{\Gamma }(x)>{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x).$

Останні два твердження, випливають із виознаки, так само як і твердження, що ${\psi }^{(1)}(x)>0$, де ${\psi }^{(1)}$ це полігамма-функція порядку 1. Щоб довести логарифмічну опуклість гамма-функції достатньо спостерігати, що ${\psi }^{(1)}$ має ряд подань, для яких за додатнього дійсного Шаблон:Math вона складається лише із додатних членів.

Логарифмічна опуклість і нерівність Єнсена разом означають, що для будь-яких додатних дійсних чисел $x_1,\dots ,x_n$ and $a_1,\dots ,a_n$,

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n}{a_1+\cdots +a_n}\right)\le (\mathrm{\Gamma }(x_1{)}^{a_1}\cdots \mathrm{\Gamma }(x_n{)}^{a_n}{)}^{\frac{1}{a_1+\cdots +a_n}}.$

Існують також обмеження відношення гамма-функцій. Найвідомішим є Шаблон:Нп, яка стверджує, що для будь-якого додатного цілого числа Шаблон:Math і будь-якогоШаблон:Math,

$x^{1-s}<\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x+s)}<(x+1{)}^{1-s}.$

Формула Стірлінґа

Представлення гамма-функції у комплексній площині. Кожна точка $z$ забарвлена відповідно до значення аргумента $\mathrm{\Gamma }(z)$. Також показано контурний графік для модуля $|\mathrm{\Gamma }(z)|$.

3-вимірний графік абсолютних значень комплексної гамма-функції

Поведінка функції $\mathrm{\Gamma }(z)$ для зростаючих цілих значень змінної проста: вона зростає досить швидко — швидше за показникову функцію. Асимптотично при $z\to \mathrm{\infty }$, величину гамма-функції задають за допомогою формули Стірлінґа

$\mathrm{\Gamma }(z+1)\sim \sqrt{2\pi z}{\left(\frac{z}{e}\right)}^z,$

де символ $\sim$ задає відношення з яким обидві сторони збігаються до 1 або асимптотично сходяться.

Наближення

Порівняння гамма-функціх (синя лінія) із факторіалом (сині точки) і наближення Стірлінга (червона лінія)

Комплексні значення гамма-функції можна обчислити чисельним способом із довільною точністю використовуючи формулу Стірлінга або Шаблон:Нп.

Гамма-функцію можна обрахувати із сталою точністю для Шаблон:Math застосувавши до інтеграла Ойлера метод інтегрування частинами. Для будь-якого додатнього числа Шаблон:Math гамма-функцію можна записати як

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(z)& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t}{t}^z\frac{dt}{t}+\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}{t}^z\frac{dt}{t}\\ & =x^z{e}^{-x}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{z(z+1)\cdots (z+n)}+\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}{t}^z\frac{dt}{t}.\end{array}$

Коли Шаблон:Math і Шаблон:Math, абсолютне значення останнього інтегралу менше за Шаблон:Math. Якщо вибрати достатньо велике Шаблон:Math, цей вираз може бути меншим за Шаблон:Math для будь-якого бажаного значення Шаблон:Math. Тож, за допомогою вищевказаного ряду гамма-функцію можна обрахувати до Шаблон:Math бітів точності.

Швидкий алгоритм для розрахунку Ойлерової гамма-функції для будь-якого алгебричного аргументу (в тому числі раціонального) Е. А. Карацуба,

Для аргументів, які є цілими кратними для Шаблон:Math, гамма-функцію також можна швидко розрахувати використавши ітерації для середнього арифметико-геометричного.

Застосування для формули Стірлінга

Наступний розклад в ряд гамма-функції для великих цілих $x$ дає асимптотичний вираз для формули Стірлінга, що використовується для обчислення факторіалу цілого числа.

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n(1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}-\frac{139}{51840n^3}-\frac{571}{2488320n^4}+O\left(n^{-5}\right))$

Історія

Позначення гама-функції ввів у обіг Лежандр.

Див. також

• Полігамма-функція
• Бета-функція
• Невластивий інтеграл
• Інтеграл Рімана
• Інтегральне числення
• Бор-Молерупова теорема
• Неповна гамма-функція
• Сума Гаусса

Джерела

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр

Примітки

Шаблон:Math-stub