Алгебраїчна незалежність

Шаблон:Фахівець Алгебраїчна незалежність — поняття теорії розширень полів. Нехай $L$ - деяке розширення поля $K$. Елементи ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ називаються алгебраїчно незалежними, якщо для довільного не тотожно рівного нулю многочлена $P(x_1,\dots ,x_n)$ з коефіцієнтами з поля $K$

$P({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)\ne 0$.

У іншому випадку елементи ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ називаються алгебраїчно залежними. Нескінченна множина елементів називається алгебраїчно незалежною, якщо незалежною є кожна її скінченна підмножина, і залежною в іншому випадку. Визначення алгебраїчної незалежності можливо поширити на випадок, коли $L$ — кільце і $K$ — його підкільце.

Приклад

Підмножина $\{\sqrt{\pi };2\pi +1\}$ поля дійсних чисел $ℝ$ не є алгебраїчно незалежною над полем $\mathbb{Q}$, оскільки многочлен $P(x_1,x_2)=2x_1^2-x_2+1$ є нетривіальним з раціональними коефіцієнтами і $P(\sqrt{\pi },2\pi +1)=0$.

Література

• Шаблон:Ван.дер.Варден.Алгебра
• Шаблон:Ленг.Алгебра

Посилання

• Шаблон:MathWorld