Сума Гаусса

У математиці під сумою Гаусса розуміють певний вид скінченних сум коренів з одиниці, як правило, записаних у вигляді

$G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum \chi (r)\cdot \psi (r)$

Тут сума береться за всіма елементами r деякого скінченного комутативного кільця R, ψ(r) — гомоморфізм адитивної групи R⁺ в одиничне коло, χ(r) — гомоморфізм групи одиниць R^× в одиничне коло, розширене елементом 0. Суми Гаусса є аналогом гама-функцій для випадку скінченних полів.

Ці суми часто зустрічаються в теорії чисел, зокрема, у функціональних рівняннях L-функцій Діріхле.

Карл Фрідріх Гаусс використовував властивості сум для розв'язування деяких задач теорії чисел, зокрема він застосував їх в одному з доведень квадратичного закону взаємності. Спочатку під сумами Гаусса мали на увазі квадратичні суми Гаусса, для яких R — поле лишків за модулем p, а χ - символ Лежандра. Для цього випадку Гаусс показав, що G(χ) = p^1/2 або ip^1/2 коли p порівнянне з 1 або 3 за модулем 4 відповідно.

Альтернативна форма запису суми Гаусса:

$\sum e^{\frac{2\pi i{r}^2}{p}}$

Загальну теорію сум Гаусса розроблено на початку XIX століття з використанням сум Якобі та їх розкладів на прості у кругових полях.

Значення сум Гаусса для теорії чисел виявлено лише в 1920-х роках. У цей час Герман Вейль застосував для дослідження рівномірних розподілів загальніші тригонометричні суми, згодом названі сумами Вейля. Тоді ж І. М. Виноградов використав суми Гаусса для отримання оцінки зверху найменшого квадратичного нелишку за модулем р. Суми Гаусса дозволяють установити зв'язок між двома важливими об'єктами теорії чисел: мультиплікативними та адитивними характерами. Квадратичні суми Гаусса тісно пов'язані з теорією θ-функцій.

Абсолютне значення сум Гаусса зазвичай знаходять за допомогою теореми Планшереля для скінченних груп. У випадку, коли R — поле з p елементів і χ нетривіальний, абсолютне значення дорівнює p^1/2. Обчислення точного значення загальних сум Гаусса є непростою задачею.

Властивості сум Гаусса для характеру Діріхле

Сума Гаусса для характеру Діріхле за модулем N

$G(\chi )=\sum _{a=1}^N\chi (a)e^{2\pi ia/N}.$

Якщо χ — примітивний, то

$|G(\chi )|=\sqrt{N},$

і, зокрема, не дорівнює нулю. Загальніше, якщо N₀ — кондуктор характеру χ і χ ₀ — примітивний характер Диріхле за модулем N₀, що індукує χ, то

$G(\chi )=\mu (N/N_0){\chi }_0(N/N_0)G({\chi }_0)$

де μ — функція Мебіуса.

З цього випливає, що G(χ) не дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли N/N ₀ вільне від квадратів і взаємно просте з N₀.

Виконується також співвідношення

$G(\bar{\chi })=\chi (-1)\overline{G(\chi )},$

де Шаблон:Overline — комплексне спряження характеру Діріхле.

Якщо χ′ — характер Діріхле за модулем N′, такий що N та N′ взаємно прості, то

$G(\chi {\chi }^{\prime })=\chi (N^{\prime }){\chi }^{\prime }(N)G(\chi )G({\chi }^{\prime }).$

Див. також

• Шаблон:Не перекладено
• Шаблон:Не перекладено

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Section 3.4 of Шаблон:Citation
• Artin E.,Tate J., Class field theory, N. Y.-Amst., 1967
• Карл Фридрих Гаусс. Сб. статей, Шаблон:М., 1956 Шаблон:Ref-ru
• Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел, Шаблон:М., 1971 Шаблон:Ref-ru
• Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., Шаблон:М., 1971 Шаблон:Ref-ru
• Прахар К. Распределение простых чисел, пер. с нем., Шаблон:М., 1967 Шаблон:Ref-ru
• Хассе Г. Лекции по теории чисел, пер. с нем., Шаблон:М., 1953 Шаблон:Ref-ru

Кондуктор характеру

• Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., Шаблон:М., 1969 Шаблон:Ref-ru
• Серр Ж.-П. Абелевы l-адические представления и эллиптические кривые, пер. с англ., Шаблон:М., 1973 Шаблон:Ref-ru