Кругове поле

Кругове поле (поле поділу кола) — поле $K_n=\mathbb{Q}({\zeta }_n),$ що одержується приєднанням до поля $\mathbb{Q}$ раціональних чисел первісного кореня ${\zeta }_n$ з одиниці степеня n, де n — деяке натуральне число. Іноді (локальним) круговим полем називають також поле виду ${\mathbb{Q}}_p({\zeta }_n)$, де ${\mathbb{Q}}_p$ — поле раціональних р-адичних чисел. Оскільки $K_n=K_{2n}$ при непарному n, звичайно вважається, що $n\ne 2(\mathrm{mod}4)$.

Тоді різним n відповідають неізоморфні поля $K_n$.

Кругові поля влаштовані «достатньо просто» і тому дають зручний експериментальний матеріал для створення загальних понять теорії чисел. Наприклад, поняття цілого алгебраїчного числа виникли спочатку при розгляді кругових полів.

Властивості

• Кругове поле є полем розкладу многочлена $X^n-1.$
• Кругові поля природно виникають в задачі про поділ кола — поділ кола на n рівних частин еквівалентний побудові на комплексній площині первісного кореня ${\zeta }_n$.
• Місце кругових полів серед всіх полів алгебраїчних чисел визначає теорема Кронекера — Вебера, що стверджує, що скінченне розширення K/Q є абелевим тоді і тільки тоді, коли $K\subset K_n$ для деякого n. Аналогічне твердження виконується і для локальних кругових полів.
• Поле $K_n$ є абелевим розширенням поля $\mathbb{Q}$ з групою Галуа

$G(K_n/\mathbb{Q})\simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{*},$

де $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{*}$ — мультиплікативна група кільця лишків по модулю n.

• Степінь $[K_n:\mathbb{Q}]$ розширення рівний φ(n), де φ(n) — функція Ейлера.
• Поле $K_n$ є цілком уявним і має степінь 2 над своїм максимальним цілком дійсним підполем $K_n^{+}=\mathbb{Q}({\zeta }_n+{\zeta }_n^{-1}).$
• Числа $1,{\zeta }_n,\dots ,{\zeta }_n^{\phi (n)-1}$ утворюють цілочисельний базис поля $K_n$.
• Дискримінант поля $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ рівний: $(-1{)}^{\varphi (n)/2}\frac{n^{\varphi (n)}}{\prod _{p\mid n}{p}^{\varphi (n)/(p-1)}}.$

Див. також

• Корінь з одиниці
• Многочлен поділу кола

Література

• Круговое поле. Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 3./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1982
• Алгебраическая теория чисел. ред. Касселс Д., Фрёлих А. М.: Мир 1969
• Lawrence C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83. Springer-Verlag, New York, 1982. ISBN 0-387-90622-3
• Serge Lang, Cyclotomic Fields I and II, Combined second edition. Graduate Texts in Mathematics, 121. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-96671-4