Корінь з одиниці

Корінь n-го степеня з одиниці — комплексний корінь многочлена $x^{n} - 1 (n ⩾ 1)$ . Іншими словами, це комплексне число $x$ , для якого

x^{n} = 1 .

Запис

Представимо одиницю в тригонометричному вигляді:

1 = \cos 0 + i \sin 0

(\cos x + i \sin x)^{n} = \cos n x + i \sin n x .

одержимо:

u_{k} = \cos \frac{2 π k}{n} + i \sin \frac{2 π k}{n}, k = 0, 1, . . ., n - 1

Тут $u_{k}$ — корені з одиниці.

Корені з одиниці можна також записати в показниковій формі:

u_{k} = e^{\frac{2 π k i}{n}}, k = 0, 1, . . ., n - 1

З цих формул випливає, що кількість коренів n-го степеня з одиниці завжди рівна $n$ , і всі вони різні.

Модуль кожного кореня рівний 1. На комплексній площині корені з одиниці утворюють вершини правильного многокутника, вписаного в одиничне коло. Однією з вершин завжди є одиниця.
Якщо $u_{k}$ — корінь з одиниці, то спряжене до нього число $\overline{u_{k}}$ — теж корінь з одиниці.

Корені з одиниці — цілі алгебраїчні числа.
Корені з одиниці утворюють абелеву групу щодо операції множення. Обернений елемент для кожного елементу цієї групи рівний спряженому елементу. Зокрема, будь-який цілий степінь кореня з одиниці теж є коренем з одиниці.
Група коренів з одиниці ізоморфна адитивній групі лишків ℤn. Звідси випливає, що вона є циклічною групою; за породжуючий елемент групи може бути взятий довільний елемент uk, індекс k якого взаємно простий n.
- Наслідки:
- елемент $u_{1}$ завжди є первісним;
- якщо $n$ — просте число, то степені будь-якого кореня, окрім $\pm 1$ , охоплюють всю групу;
- число первісних коренів рівне $φ (n)$ , де $φ$ — функція Ейлера.
Якщо $n > 1$ , то для суми степенів будь-якого первісного кореня з одиниці $u$ має місце формула:

\sum_{k = 0}^{n - 1} u^{k} = \frac{u^{n} - 1}{u - 1} = 0 .

Кубічні корені з одиниці:

{1; \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}; \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}}

Корені 4-го степеня з одиниці:

{1; + i; - 1; - i}

Для коренів 5-го степеня є 4 первісні елементи:

{e^{\frac{2 π i k}{5}} | k \in {1, 2, 3, 4}} = {\frac{u \sqrt{5} - 1}{4} + v \sqrt{\frac{5 + u \sqrt{5}}{8}} i | u, v \in {- 1, 1}} .

Для коренів 6-го степеня первісних елементів тільки два:

{\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}} .