Характер Діріхле

Характер (або числовий характер, або характер Діріхле) по модулю $k$ (де $k⩾1$ — ціле число) — комплекснозначна періодична функція $\chi (n)$ на множині цілих чисел. Характери Діріхле мають важливі застосування у теорії чисел зокрема при означенні L-функції Діріхле $L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s}$.

Означення

Аксіоматичне означення

Характером Діріхле по модулю $k\in \mathbb{N}$ називається функція $\chi$ із множини цілих чисел $\mathbb{Z}$ у множину комплексних чисел $ℂ$, що задовольняє умови:

• $\chi (n)\equiv ̸0$.
• $\chi (nm)=\chi (n)\chi (m)$ для будь-яких $m$ і $n$ (мультиплікативність).
• Існує натуральне число, таке що $\chi (n+k)=\chi (n)$ для будь-якого $n$ (періодичність).

Якщо деяка функція цілочислового аргументу є періодичною із періодом $k$ то вона є також періодичною із періодом $-k$. Відповідно існує найменше додатне число, що є періодом функції. Воно називається основним модулем характеру Діріхле. Всі періоди розклад яких на прості множники містить, ті ж прості числа, що містяться у основному періоді називаються модулями характеру Діріхле (і тоді функція є характером Діріхле по цьому модулю).

За допомогою класів лишків

Нехай $(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}{)}^{*}$ — множина оборотних елементів кільця лишків $(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})$ за модулем $k\in \mathbb{N}$. Елементами є класи лишків $\hat{n}=\{m\mid m\equiv nmodk\}$ де числа $n$ є взаємно простими з $k$. $(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}{)}^{*}$ є комутативною групою порядок якої дорівнює значенню функції Ейлера $\phi (k)$. Характером Діріхле називається гомоморфізм груп:

$\chi :(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}{)}^{*}\to {ℂ}^{*}$.

Еквівалентність означень

Для гомоморфізму груп $\chi :(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}{)}^{*}\to {ℂ}^{*}$ можна ввести функцію $\chi :\mathbb{Z}\to ℂ$, як

$\chi (n)=\{\begin{array}{cc}\chi (\hat{n})& n\in \hat{n},\hat{n}\in (\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}{)}^{*}\\ 0& (n,k)>1\end{array}$

Тоді $\chi (1)=1$, тобто функція не є рівною нулю для всіх значень. Також функція є періодичною оскільки згідно означення вона приймає однакові значення на всіх елементах будь-якого класу лишків. З властивостей гомоморфізмів груп і класів лишків також випливає мультиплікативність функції. Тобто кожен характер Діріхле у другому означенні породжує характер Діріхле у першому означенні.

Навпаки, якщо $\chi :\mathbb{Z}\to ℂ$ — характер Діріхле згідно першого означення і $k$ — його основний модуль то згідно періодичності він визначає відображення на класах лишків за модулем $k$. Також якщо $\chi (n)\ne 0$ для деякого $n\in \mathbb{Z}$ то $\chi (n)=\chi (n\cdot 1)=\chi (n)\cdot \chi (1)$ і тому $\chi (1)=1$. Із мультиплікативності випливає, що індукована функція на класах лишків за модулем $k$ є теж мультиплікативною.

Для того щоб довести, що кожен характер Діріхле у першому означенні породжується характером Діріхле у другому означенні достатньо довести, що $\chi (n,k)\ne 0$ якщо $n$ і $k$ є взаємно простими числами і $\chi (n,k)=0$ якщо $n$ і $k$ не є взаємно простими.

Нехай $(n,k)=1$. Тоді існують такі два цілих числа $x$ і $x$, що $nx-ky=1$. Отже, враховуючи періодичність $\chi (nx)=\chi (n)\chi (x)=1$ і тому $\chi (n)\ne 0$.

Нехай тепер $(n,k)=d>1$ і $n=n^{\prime }d,k=k^{\prime }d$. Оскільки $k^{\prime }<k$, то існує таке ціле число $a$, що $\chi (a+k^{\prime })-\chi (a)\ne 0$, бо в іншому випадку $k^{\prime }$ було б періодом $\chi (n,k)$. Але

$\chi (d)(\chi (a+k^{\prime })-\chi (a))=\chi (ad+k)-\chi (ad)=0$

Тому $\chi (d)=0$ і з мультиплікативності $\chi (n)=\chi (n^{\prime })\chi (d)=0$.

Властивості

• Як було показано при доведенні еквівалентності означень $\chi (1)=1$ і $\chi (n,k)=0$ якщо $n$ і $k$ не є взаємно простими, де $k$ — основний модуль. Якщо ж $n$ і $k$ є взаємно простими, то згідно теореми Ейлера $a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$, де $\phi$ — функція Ейлера і тому також $\chi (a{)}^{\phi (n)}=1$, тобто ненульові значення характера Діріхле модуля $k$ є коренями з одиниці степеня $\phi (k)$.
• Нехай ${\chi }_1(n),\dots ,{\chi }_m(n)$ — характери Діріхле з основними модулями $k_1,\dots ,k_m$ відповідно. Тоді добуток ${\chi }_1(n)\cdot \dots \cdot {\chi }_m(n)$ є характером Діріхле основний модуль якого є дільником найменшого спільного кратного чисел $k_1,\dots ,k_m$.
• Нехай $\chi (n)$ — характер Діріхле з основним модулем $k=k_1\cdot \dots \cdot k_m$, де всі числа $k_1,\dots ,k_m$ — попарно взаємно прості. Тоді існує єдина система характерів ${\chi }_1(n),\dots ,{\chi }_m(n)$ основні модулі яких рівні $k_1,\dots ,k_m$ і також $\chi (n)={\chi }_1(n)\cdot \dots \cdot {\chi }_m(n)$.
• Існує $\phi (k)$ різних характерів по модулю $k$. Вони утворюють групу порядку $\phi (k)$, ізоморфну мультиплікативній підгрупі ${\mathbb{Z}}_k^{*}$ оборотних елементів кільця лишків за модулем $k$.

Приклади

• Функція $\chi (n)\equiv 1$ є характером, що називається тривіальним характером.
• Характер, ${\chi }_0(n)=\{\begin{array}{cc}1& (n,k)=1\\ 0& (n,k)>1\end{array}$, називається головним характером по модулю $k$. В групі характерів по модулю $k$ він є одиничним елементом.
• Нехай $k>1$ — непарне натуральне число. Введемо функцію:

$\chi (n)=\{\begin{array}{cc}\left(\frac{n}{k}\right)& (n,k)=1\\ 0& (n,k)>1\end{array}$,

де $\left(\frac{n}{k}\right)$ — символ Якобі. Ця функція буде характером Діріхле за модулем $k$.

• Нехай $p$ — непарне просте число, $a⩾1$ — натуральне число, $g$ — первісний корінь по модулю $p^a$ і якщо $p\mid ̸n$ то $v={\mathrm{ind}}_{g}n$, тобто найменше натуральне число для якого $g^v=1mod{p}^a$. Нарешті, нехай число $\rho$ — будь-який корінь рівняння ${\rho }^h=1$, де $h=\phi (p^a)$. Визначимо функцію $\chi (n)$ умовами:

$\chi (n)=\{\begin{array}{cc}{\rho }^v& (n,p)=1,\\ 0& (n,p)>1\end{array}$

Ця функція є характером по модулю $p^{a^{\prime }}$, де $a^{\prime }⩽a$.

• Нехай $k$ — натуральне число і $k=2^a{p}_1^{a_1}\dots p_m^{a_m}$ — його розклад на прості множники. Нехай $C=C_0=1$, якщо $a=0$ або $a=1$ і $C=2,C_0=2^{a-2}$, якщо $a>1$. Нехай також $C_i=\phi (p_i^{a_i}),i\in 1,\dots ,m$ і $v_i=\mathrm{ind}n,i\in 1,\dots ,m$ — індекси, як вище (відповідно по модулях $p_i^{a_i}$), а $v,v_0$ — найменші натуральні числа для яких $n=(-1{)}^v{5}^{v_0}mod{2}^a$. Якщо — $\rho ,{\rho }_0,{\rho }_1,\dots ,{\rho }_m$ — корені з одиниці степенів $C,C_0,C_1,\dots ,C_m$, то функція

$\chi (n)=\{\begin{array}{cc}{\rho }^v{\rho }_0^{v_0}{\rho }_1^{v_1}\dots {\rho }_m^{v_m}& (n,p)=1,\\ 0& (n,p)>1\end{array}$

є характером Діріхле за модулем $k$. Вибираючи різні корені з одиниці одержуються усі $\phi (k)$ характери Діріхле за модулем $k$.

Основні співвідношення

$\sum _{n=1}^k\chi (n)=\{\begin{array}{cc}\phi (k),& \chi ={\chi }_0;\\ 0,& \chi \ne {\chi }_0.\end{array}$;

$\sum _{\chi }\chi (n)=\{\begin{array}{cc}\phi (k),& n\equiv 1(\mathrm{mod}k);\\ 0,& n\equiv ̸1(\mathrm{mod}k).\end{array}$, де сума є за всіма характерами.

Відношення ортогональності:

$\frac{1}{\phi (k)}\sum _{\chi }\chi (n)\chi (l)=\{\begin{array}{cc}1,& n\equiv l(\mathrm{mod}k);\\ 0,& n\equiv ̸l(\mathrm{mod}k).\end{array}$

Відповідно при інтерпретації характера Діріхле як гомоморфізму груп $\chi :(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}{)}^{*}\to {ℂ}^{*}$, характери Діріхле утворюють ортогональну базу усіх характерів групи $(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}{)}^{*}$.

Примітивний характер

Нехай $\chi (n,k)$ — характер Діріхле за модулем $k$. Найменший дільник $d$ числа $k$ такий, що для всіх цілих чисел $a,b$ таких що $(a,k)=1$, $(b,k)=1$ і $a\equiv bmodd$ виконується $\chi (a,k)=\chi (b,k)$ називається провідним модулем або кондуктором характера.

Якщо кондуктор характера Діріхле за модулем $k$ є рівним $k$, то характер називається примітивним.

Якщо $\chi (n,k)$ — непримітивний характер кондуктора $d$, то існує примітивний характер ${\chi }^{*}(n,d)$ з модулем $d$, що породжує (індукує) характер $\chi (n,k)$, тобто:

$\chi (n,k)=\{\begin{array}{cc}{\chi }^{*}(n,d)& (n,k)=1\\ 0& (n,k)>1\end{array}.$

Характер $\chi (n,k)$ є примітивним тоді і тільки тоді, коли для будь-якого числа $d$, що ділить $k$ і $d<k$, існує ціле число $a$, що задовольняє умови:

$a\equiv 1modd,\chi (a,k)\ne 1$.

У термінах гомоморфізмів груп характер $\chi :(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}{)}^{*}\to {ℂ}^{*}$ називається примітивним, якщо не існує власного дільника $d$ числа $k$, характера ${\chi }^{*}:(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}{)}^{*}\to {ℂ}^{*}$ і гомоморфізму $\psi :(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}{)}^{*}\to (\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}{)}^{*}$ для яких $\chi ={\chi }^{*}\circ \psi .$

Див. також

• Сума Гаусса
• L-функція Діріхле

Література

• Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — Москва: Изд-во Московского университета, 1984.
• Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — Москва: УРСС, 2004.
• Чудаков Н. Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. — Москва: ОГИЗ, 1947.