Суми Вейля

Суми Вейля — загальна назва тригонометричних сум спеціального виду.

Визначення

Сумами Вейля є тригонометричні суми виду

$\sum _n{e}^{2\pi if(n)}=\sum _n\cos [2\pi f(n)]+i\sum _n\sin [2\pi f(n)],$

де $f(n)=a_0{n}^k+a_1{n}^{k-1}+...+a_k$ многочлен степені $k$ із раціональними коефіцієнтами, а сумування розповсюджується по певному відрізку натурального ряду $M\le n\le N,n$ цілі.

Найпростішою такою сумою є

$S=\sum _{n=0}^{m-1}{e}^{2\pi i\frac{a}{m}n}=\sum _{n=0}^{m-1}\cos (\frac{2\pi a}{m}n)+i\sum _{n=0}^{m-1}\sin (\frac{2\pi a}{m}n),$

де $a,m\in \mathbb{Z}.$ Якщо $a$ ділиться на $m,$ то кожний доданок суми $S$ дорівнює 1 та, відповідно, $S=m;$ у протилежному випадку сума дорівнює нулю. Оскільки

$S=1+e^{2\pi i\frac{a}{m}}+e^{2\pi i\frac{2a}{m}}+...+e^{2\pi i\frac{(m-1)a}{m}}=\frac{e^{2\pi ia}-1}{e^{\frac{2\pi ia}{m}}-1}=\frac{\stackrel{=0}{\overbrace{1-1}}}{e^{\frac{2\pi ia}{m}}-1}=0.$

Таким чином,

$S=\{\begin{array}{c}0,\text{якщо a не ділиться на m},\\ m,\text{якщо a ділиться на m}.\end{array}$

Оцінки сум Вейля

Оцінки сум Вейля відіграють важливу роль у багатьох задачах аналітичної теорії чисел. Існує декілька методів оцінки сум Вейля. Найбільш простий та відомий з них - метод Гауса.

Див. також

• Сума Гаусса
• Теорема Вейля про рівномірний розподіл
• Суми Клоостермана

Література

• И.М. Виноградов. Избранные труды. М., 1952.
• Г.И. Архипов, А.А. Карацуба, В.Н. Чубариков. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.