Теорема Вейля про рівномірний розподіл

Теорема Вейля про рівномірний розподіл формулює критерій рівномірної розподіленості нескінченної послідовності дійсних чисел із відрізка $(0;1)$.

Теорему довів 1914 року і опублікував 1916 року Герман Вейль.

Визначення

Нехай ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ — нескінченна послідовність дійсних чисел з інтервалу $(0;1)$.

Для чисел $a,b\in (0;1),a<b$ позначимо через ${\phi }_n(a,b)=\mathrm{\#}\left\{k:1\le k\le n,{\xi }_k\in (a;b)\right\}$ кількість чисел з ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n$, що лежать у відрізку $(a;b)$.

Визначимо граничне найбільше відхилення як $D_{\xi }=\lim \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\sup }\left(\frac{{\phi }_n(a,b)}{n}-(b-a)\right)$.

Послідовність ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ називається рівномірно розподіленою в $(0;1)$, якщо $D_{\xi }=0$. Іншими словами, послідовність рівномірно розподілена в $(0;1)$ якщо в будь-якому ненульовому відрізку частка елементів, що потрапляють у цей відрізок, прямує до частки розміру відрізка в $(0;1)$.

Формулювання теореми

Шаблон:Рамка Послідовність ${\left({\xi }_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},{\xi }_n\in (0;1)$ рівномірно розподілена в $(0;1)$ тоді й лише тоді, коли для будь-якої інтегровної за Ріманом на відрізку $(0;1)$ функції $f$ виконується тотожність:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$

Наслідки

Критерій із тригонометричними сумами

Теорема Вейля дозволяє вивести прямий зв'язок рівномірності розподілу з тригонометричними сумами.Шаблон:Рамка Послідовність ${\left({\xi }_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},{\xi }_n\in (0;1)$ рівномірно розподілена в $(0;1)$ тоді й лише тоді, коли для будь-якого цілого $m=0$ виконується

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{e}^{2\pi m{\xi }_{k}i}=0$

Шаблон:/рамкаДоведення останнього твердження проводиться аналогічно доведенню основної теореми (див. вище), тільки замість апроксимації кусково-лінійною функцією використовується апроксимація частковими сумами ряду Фур'є.

Стала $0$ у формулі фактично є значенням інтегралу $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{2\pi mxi}dx=0$.

Дробові частини від кратних ірраціональних

Завдяки формулюванню теореми, яка використовує тригонометричні суми, легко вивести такий результат:Шаблон:Рамка Позначимо через $\left\{x\right\}$ дробову частину числа $x$

Якщо $\xi \in ℝ$ — ірраціональне число, то послідовність $\left\{\xi \right\},\left\{2\xi \right\},\left\{3\xi \right\},\dots ,\left\{n\xi \right\},\dots$ рівномірно розподілена в $(0;1)$. Шаблон:/рамкаШаблон:Hider 

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга