Однолиста функція

У комплексному аналізі, голоморфна функція на відкритій підмножині комплексної площини називається однолистою якщо вона є ін'єктивною.

Вивчення однолистих функцій має важливе значення у геометрії чисел. Серед основних задач теорії однолистих функцій є вивчення відповідності границь областей при конформному відображенні, отримання умов при яких функція буде однолистою і знаходження розв'язків різних екстремальних задач теорії функцій, зокрема одержання оцінок різних функціоналів і областей значень функціоналів і їх систем в тому

або іншому класі.

Згідно теореми Рімана між будь-якими однозв'язними областями не рівними усій комплексній площині існує біголоморфне відображення, що переводить одну область в іншу. Це відображення і його обернене будуть очевидно однолистими голоморфними функціями. Тому вивчення однолистих функцій на деякій конкретній однозв'язній області є важливим для вивчення однолистих функцій на інших однозв'язних областях. Зважаючи на це особливе значення має вивчення однолистих функцій на одиничному крузі $\mathrm{\Delta }=\{z\in ℂ||z|<1\}.$ Оскільки для однолистої функції $f(z)$ функції $f(z)-w,w\in ℂ$ і $wf(z),w\in ℂ,w\ne 0$ теж будуть однолистими то додатково при розгляді однолистих функцій на одиничному крузі часто вимагаються умови нормованості: $f(0)=0,f^{\prime }(0)=1.$ Клас однолистих функцій на одиничному крузі, що задовольняють умови нормованості буде позначатися $S.$

Приклади

• Розглянемо відображення ${\varphi }_a$ із відкритого одиничного круга в себе задане як:

${\varphi }_a(z)=\frac{z-a}{1-\overline{a}z}.$

Тоді ${\varphi }_a$ є однолистою функцією для $|a|<1$.

• Важливими прикладами функцій класу $S$ (тобто голоморфних однолистих функцій на одиничному крузі із відповідною нормалізацією) є функція Кебе:

$f(z)=\frac{z}{(1-z{)}^2}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{z}^n$

і узагальнені функції Кебе

$f_{\alpha }(z)=\frac{z}{(1-\alpha z{)}^2}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{\alpha }^{n-1}{z}^n$

де α є комплексним числом із абсолютним значенням рівним 1.

Основні властивості

Якщо $G$ і $\mathrm{\Omega }$ є двома областями (відкритими і зв'язаними підмножинами) комплексної площини і

$f:G\to \mathrm{\Omega }$

є однолистою функцією для якої $f(G)=\mathrm{\Omega }$, тоді похідна $f$ ніколи не є рівною 0, $f$ є оборотною, і її обернена функція $f^{-1}$ є також голоморфною. Окрім того згідно правила диференціювання складеної функції:

$(f^{-1}{)}^{\prime }(f(z))=\frac{1}{f^{\prime }(z)}$

для всіх $z\in G.$

Доведення

Оскільки $f$ не є константою, то його похідна не є рівною нулю в усіх точках області $G$, а тому нулі функції $f^{\prime }$ є ізольованими. Припустимо, що $z_0\in G$ є такою точкою, що $f^{\prime }(z_0)=0$ і $f(z_0)=w_0\in \mathrm{\Omega }.$ Нехай $\rho >0$ таке число, що $\overline{B}(z_0,\rho )=\{z\in ℂ||z-z_0|⩽\rho \}\subset G$ і у цьому крузі $f^{\prime }$ має єдиний нуль у точці $z_0.$

Розглянемо функцію $N(w)=\frac{1}{2\pi i}\underset{|z-z_0|=\rho }{\int }\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)-w}dz$ яку можна розглядати в якомусь зв'язаному відкритому околі $W$ точки $w_0,$ що є підобластю області $f(B(z_0,\rho )).$

Згідно принципу аргументу для кожної точки $w\in W$ функція $N(w)$ є рівною кількості нулів (з урахуванням кратності) голоморфної функції $f(z)-w$ у відкритому крузі $B(z_0,\rho )$. Також з означення $N(w)$ випливає, що вона є неперервною на зв'язаному відкритому околі $W$ і тому, як неперервна функція із зв'язаної множини у множину цілих чисел, вона є константою. Для кожного $w\in W$ функція $f(z)-w$ має нуль лише в одній точці (оскільки вона теж є однолистою). Оскільки для всіх $z\in B(z_0,\rho )\setminus z_0$ також $f^{\prime }(z)\ne 0$ то для всіх $w\ne w_0$ також кратність цього нуля функції $f(z)-w$ є рівною одиниці, тобто $N(w)=1.$ Але звідси випливає, що $N(w_0)=N(w)=1$ і тому кратність $z_0$ як кореня $f(z)-w_0$ є рівною одиниці. Це можливо лише якщо $f^{\prime }(z_0)\ne 0.$ Тобто $f^{\prime }$ не має нулів у області $G$.

Для доведення голоморфності оберненої функції її локально можна записати через інтегральний вираз. Для цього нехай $\overline{B}(z_0,\rho )\subset G$ і також $\delta =\underset{|z-z_0|=\rho }{\min }|f(z)-w_0|,$ де $f(z_0)=w_0.$ Для $B(w_0,\delta )=\{w\in ℂ||w-w_0|<\delta \}\subset \mathrm{\Omega }$ можна, як і вище ввести функцію $N(w)$ оскільки на границі $\overline{B}(z_0,\rho )$ функція не набуває жодного із значень $w\in B(w_0,\delta ).$ Як і вище $N(w)=1$ для всіх $w\in B(w_0,\delta )$ і тому прообраз $B(w_0,\delta )$ при функції $f^{-1}$ є підмножиною $B(z_0,\rho ).$

Функцію $f^{-1}$ на $B(w_0,\delta )$ можна задати за допомогою інтегральної формули:

$f^{-1}(w)=\frac{1}{2\pi i}\underset{|\xi -z_0|=\rho }{\int }\frac{\xi f^{\prime }(\xi )}{f(\xi )-w}d\xi w\in B(w_0,\delta ).$

Для доведення цієї рівності варто зауважити, що функція $\frac{\xi f^{\prime }(\xi )}{f(\xi )-w}$ має лише один простий полюс у $B(z_0,\rho )$ у точці z в якій $f(z)=w,$ а тому, згідно основної теореми про лишки $f^{-1}(w)=\mathrm{Res}(\frac{\xi f^{\prime }(\xi )}{f(\xi )-w},z).$ Звідси, згідно властивостей лишків, $f^{-1}(w)=\underset{\xi \to z}{\lim }(\xi -z)\frac{\xi f^{\prime }(\xi )}{f(\xi )-w}=z$ (тут, зокрема, використовується, що $f^{\prime }(z)\ne 0$).

Оскільки вибір $z_0$ і $W_0$ був довільним для доведення голоморфності $f^{-1}$ достатньо довести голоморфність локально для $B(w_0,\delta )$ скориставшись доведеною формулою. Для цього потрібно довести існування

$\underset{\mathrm{\Delta }w\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }w}(\frac{1}{2\pi i}\underset{|\xi -z_0|=\rho }{\int }\frac{\xi f^{\prime }(\xi )}{f(\xi )-w}d\xi -\frac{1}{2\pi i}\underset{|\xi -z_0|=\rho }{\int }\frac{\xi f^{\prime }(\xi )}{f(\xi )-(w+\mathrm{\Delta })}d\xi )$

для всіх $w\in B(w_0,\delta ).$ Для цього достатньо довести, що ця границя прямує до $\frac{1}{2\pi i}\underset{|\xi -z_0|=\rho }{\int }\frac{\xi f^{\prime }(\xi )}{(f(\xi )-w){)}^2}d\xi$ для всіх $w\in B(w_0,\delta ).$ Справді:

$\underset{\mathrm{\Delta }w\to 0}{\lim }|\frac{1}{2\pi i}\underset{|\xi -z_0|=\rho }{\int }\frac{1}{\mathrm{\Delta }w}(\frac{\xi f^{\prime }(\xi )}{f(\xi )-w}-\frac{\xi f^{\prime }(\xi )}{f(\xi )-(w+\mathrm{\Delta }w)})-\frac{\xi f^{\prime }(\xi )}{(f(\xi )-w){)}^2}d\xi |=\underset{\mathrm{\Delta }w\to 0}{\lim }\left|\frac{1}{2\pi i}\underset{|\xi -z_0|=\rho }{\int }\frac{\mathrm{\Delta }w\xi f^{\prime }(\xi )}{(f(\xi )-w{)}^2(f(\xi )-(w+\mathrm{\Delta }w))}\right|$

Далі, функція $\xi f^{\prime }(\xi )$ є неперервною на множині $|\xi -z_0|=\rho$ і тому для всіх точок цієї множини $|\xi f^{\prime }(\xi )|<M$ для деякого додатного числа у всіх точках множини $|\xi -z_0|=\rho$. Також, оскільки на множині $|\xi -z_0|=\rho$ функція f ніде не є рівною $w$ то існує число $\epsilon >0$, таке що $|f(\xi )-w|>\epsilon$ і також $|f(\xi )-(w+\mathrm{\Delta }w)|>\epsilon$ для всіх достатньо малих за модулем $\mathrm{\Delta }w$. Для таких $\mathrm{\Delta }w$ тоді у формулі вище підінтегральні вирази за модулем є меншими $\frac{|\mathrm{\Delta }w|M}{{\epsilon }^3}$ і оскільки $\underset{\mathrm{\Delta }w\to 0}{\lim }\frac{|\mathrm{\Delta }w|M}{{\epsilon }^3}=0$ то це ж справедливо і для границь у попередній формулі. Це доводить існування комплексної похідної у всіх точках області визначення $f^{-1}$ і тому голоморфність цієї функціїв усіх точках.

Порівняння з функціями дійсної змінної

Для дійсних аналітичних функцій, на відміну від комплексних аналітичних (тобто голоморфних) функцій ці властивості не є вірними. Наприклад, розглянемо функцію

$f:(-1,1)\to (-1,1)$

задану як ƒ(x) = x³. Ця функція є ін'єктивною але її похідна є рівною 0 в точці x = 0, і її обернена функція не є аналітичною чи навіть диференційовною на всьому інтервалі  (−1, 1). Тому, якщо збільшити область визначення до відкритої підмножини G комплексної площини, вона не може бути ін'єктивною; у цьому випадку, наприклад f(εω) = f(ε) (де ω є примітивним коренем з 1 і ε є додатним цілим числом меншим, ніж радіус G як околу 0).

Властивості

• З теореми Гурвіца випливає, що якщо {f_k} є послідовністю голоморфних однолистих функцій на зв'язаній відкритій множині G і вони рівномірно сходяться на компактних підмножинах у G до голоморфної функції f, то f є або теж однолистою або константою.
• Якщо f є однолистою на одиничному крузі, тоді $f\in H^p$ для всіх $0<p<\frac{1}{2},$ де $H^p$ позначають простори Гарді. Якщо додатково ця функція не є рівною нулю у жодній точці одиничного круга, то $\ln f\in H^p$ для всіх $p>0.$
• Нерівність Правітца: нехай $f(z)\in S$ і позначимо $M_p(r,f)={\left(\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{|f(r{e}^{i\theta })|}^{p}d\theta \right)}^{\frac{1}{p}}$ для $0<p<\mathrm{\infty }$ і $M_{\mathrm{\infty }}(r,f)=\underset{|z|=r}{\max }|f(z)|.$ Тоді справедливою є нерівність:

$M_p^p(r,f)⩽p\underset{0}{\overset{r}{\int }}\frac{1}{t}{M}_{\mathrm{\infty }}^p(t,f)dt0<r<1.$

• Теорема де Бранже (гіпотеза Бібербаха): якщо функція $f(z)\in S$ і зокрема її розклад у ряд Тейлора має вигляд $f(z)=z+\sum _{n\ge 2}{a}_n{z}^n,$ то для коефіцієнтів ряду Тейлора виконуються нерівності $|a_n|⩽n\mathrm{\forall }n⩾2.$ Приклад функції Кебе показує що значення у правій частині нерівностей є оптимальними.
• Теорема Літлвуда — Пелі: якщо функція $f(z)\in S$ є непарною, тобто її розклад у ряд Тейлора має вигляд $f(z)=z+\sum _{n\ge 1}{a}_{2n+1}{z}^{2n+1},$ то існує константа A, що не залежить від конкретної функції, така що для коефіцієнтів ряду Тейлора виконуються нерівності $|a_{2n+1}|⩽A.$
• Теорема Ґронвала про площу: якщо $g(z)=z+b_1{z}^{-1}+b_2{z}^{-2}+\cdots$ є однолистою в області |z| > 1 то:

$\sum _{n⩾1}n|b_n{|}^2⩽1.$

• Теорема Кебе про чверть: якщо функція $f(z)\in S$ то образ $f(\mathrm{\Delta })$ містить круг $\{w||w|<\frac{1}{4}\}$ з центром у точці 0 і радіусом 1/4. Приклад функції Кебе показує, що константу 1/4 утвердженні теореми не можна збільшити.
• Теорема Кебе про спотворення: нехай $f(z)\in S$ і r = |z|. Тоді

$\frac{r}{(1+r{)}^2}⩽|f(z)|⩽\frac{r}{(1-r{)}^2}$

$\frac{1-r}{(1+r{)}^3}⩽|f^{\prime }(z)|⩽\frac{1+r}{(1-r{)}^3}$

$\frac{1-r}{1+r}⩽\left|z\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}\right|⩽\frac{1+r}{1-r}$

До того ж рівності справджуються лише для узагальнених функцій Кебе.

• Теорема Каратеодорі про ядро: нехай $f_n\in S$ — послідовність функцій, $U_n=f_n(\mathrm{\Delta })$ — образи одиничного круга при дії цих функцій. Нехай $V_n$ позначає зв'язну компоненту, що містить 0 внутрішності перетину $\underset{i=n}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cap }}{U}_n.$ Ядром послідовності множин $U_n$ називається об'єднання усіх $V_n$ або точка $\{0\},$ якщо це об'єднання є порожньою множиною. Теорема Каратеодорі стверджує, що послідовність $f_n$ збігається рівномірно на компактах до функції f, якщо і тільки якщо послідовність множин $U_n$ збігається до свого ядра і це ядро не є рівним всій комплексній площині. Якщо ядро є рівним $\{0\}$ то функція є константою рівною 0. В іншому випадку ядро U є зв'язаною відритою множиною, f є однолистою функцією і $U=f(\mathrm{\Delta }).$

• Нерівність Грунського: якщо функція $f(z)\in S$ то:

$|\log \frac{z}{f(z)}|⩽\log \frac{1+|z|}{1-|z|}.$

• Критерій Неванлінни: якщо $f(z)\in S,$ то образ одиничного круга $f(\mathrm{\Delta })$ буде зірчатою областю щодо точки 0 тоді й лише тоді, коли дійсна частина функції $z{f}^{\prime }(z)/f(z)$ буде додатним числом для всіх $z\in \mathrm{\Delta }.$

З іншого боку, якщо f є голоморфною на одиничному крузі, дійсна частина функції $z{f}^{\prime }(z)/f(z)$ є додатним числом для всіх $z\in \mathrm{\Delta }$ і $f^{\prime }(0)\ne 0$ то тоді $f(0)=0$ і f є однолистою на одиничному крузі.

• Теорема Грунського: якщо $f(z)\in S,$ то для всіх r ≤ tanh π/4, образ круга |z| < r при відображенні f є зірчатою областю щодо точки 0.

• Нерівність Голузіна: для функції $f(z),$ що є однолистою в області |z| > 1, якщо z_i є n різними точками із |z_i| > 1 і λ_i є довільними комплексними числами то:

$|\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\lambda }_i{\lambda }_j\log \frac{g(z_i)-g(z_j)}{z_i-z_j}|\le \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\lambda }_i\overline{{\lambda }_j}\log \frac{z_i\overline{z_j}}{z_i\overline{z_j}-1},$

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation