Гіпотеза Бібербаха

Гіпотеза Бібербаха(після доведення також використовується назва теорема де Бранжа) — доведене припущення, висловлене в 1916 році німецьким вченим Людвігом Бібербахом щодо верхньої межі коефіцієнтів розкладу однолистих функцій у ряд Тейлора.

Позначимо $Δ$ — відкритий одиничний круг комплексної площини: $Δ = {z : | z | < 1}$ .

Нехай $S$ — множина всіх голоморфних і однолистих в $Δ$ функцій $f (z)$ , що мають розклад у ряд Тейлора в околі нуля виду:

f (z) = z + \sum_{n = 2}^{\infty} c_{n} z^{n} .

За гіпотезою коефіцієнти $| c_{n} | ⩽ n$ і додатково $c_{n} = n$ тільки для узагальнених функцій Кебе виду

k_{θ} (z) = \frac{z}{(1 - z e^{i θ})^{2}} .

Історія доведення гіпотези

1916 рік — висловлена гіпотеза. Бібербах довів справедливість гіпотези при $n = 2$ .
1923 рік — доведена гіпотеза для $n = 3$ . Автор доведення — Чарльз Левнер, для доведення був створений параметричний метод Левнера.
1955 рік — доведення для $n = 4$ . Автори — Пол Гарабедян і Менахем Макс Шифер. Метод, використаний при доведенні, був названий методом Шифера.
1968 1969 роки — дві незалежні роботи з підтвердженням гіпотези для $n = 6$ — Роджер Педерсон і Міцуру Одзава.
1972 рік — доведена гіпотеза для $n = 5$ — Педерсон, Шифер.

1925 рік — Джон Ідензор Літлвуд доводить, що $| c_{n} | ⩽ e \cdot n$ для будь-якого $n$ .
1936 рік — американський математик Малкольм Робертсон припустив, що для непарних функцій $f \in S,$ розклад яких у ряд Тейлора, відповідно має вид:

f (z) = z + b_{3} z^{3} + b_{5} z^{5} + \dots

і для всіх натуральних чисел n, виконується нерівність

\sum_{k = 1}^{n} | b_{2 k + 1} |^{2} ⩽ n .

Дане припущення називається гіпотезою Робертсона. Робертсон довів, що із гіпотези Робертсона випливає гіпотеза Бібербаха.

1951 рік — Іван Базилевич і Ісаак Мілін довели співвідношення $| c_{n} | ⩽ e / 2 \cdot n + c o n s t$ .
1965 рік — Мілін: $| c_{n} | ⩽ 1, 243 \cdot n$ .
1971 рік — Мілін припустив, що для функцій $f \in S,$ для всіх натуральних чисел n, виконується нерівність,

\sum_{k = 1}^{n} (n - k + 1) (k | γ_{k} |^{2} - 1 / k) ⩽ 0

де логарифмічні коефіцієнти γ_n для f одержуються із формули:

\log (f (z) / z) = 2 \sum_{n = 1}^{\infty} γ_{n} z^{n} .

Мілін довін, що із цього припущення (гіпотези Міліна) випливає гіпотеза Робертсона, а тому і гіпотеза Бібербаха.

1972 рік — Карл Фітцджеральд: $| c_{n} | ⩽ \sqrt{7 / 6} n$ .
1984 року — французький математик Луї де Бранж довів гіпотезу Міліна і відповідно гіпотези Робертсона і Бібербаха. Доведення де Бранжа було досить довгим. Воно зокрема використовувало нерівності щодо многочленів Якобі, які були доведені Аскі і Гаспером. Надалі простіші доведення гіпотези Бібербаха дали Фітцджеральд і Поммеренке у 1985 році, Кореваар у 1986 році і Вейнштейн у 1991 році.

Література

Koepf W. Bieberbach's conjecture, the de Branges and Weinstein functions and the Askey-Gasper inequality // The Ramanujan Journal, June 2007, Volume 13, Issue 1-3, pp 103—129. https://doi.org/10.1007/s11139-006-0244-2

Гіпотеза Бібербаха

Історія доведення гіпотези

Література

Навігаційне меню

Пошук