Основна теорема про лишки

Випадок жорданової кривої γ у області U і особливих точок a_n.

Основна теорема про лишки — результат в комплексному аналізі, що має важливе застосування для обчислення криволінійних інтегралів голоморфних функцій, а також для обчислення деяких дійсних інтегралів і суми рядів певного типу. Є узагальненням інтегральної формули Коші і інтегральної теореми Коші.

Твердження

Нехай U — відкрита, однозв'язна підмножина комплексної площини $ℂ$, z₁,…,z_n множина особливих точок у U і f — функція що є голоморфною у множині U — {z₁,…,z_n}. Якщо γ — деяка замкнута спрямлювана крива у U, якій не належать z_k. Тоді :

${\oint }_{\gamma }f(z)\text{d}z=2\pi i\sum _{k=1}^n\mathrm{Res}(f,z_k){\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}}_{\gamma }(z_k).$

В даній рівності, Res(f,z_k) позначає лишок функції f в точці z_k, а ${\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}}_{\gamma }(z_k)$ індекс контуру γ відносно точки z_k.

Дане число може бути визначене за формулою:

${\mathrm{Ind}}_{\gamma }(z_k)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{\text{d}z}{z-z_k}.$

Замітка. У найпоширенішому випадку крива вважається жордановою, тобто вона ніде не перетинається сама з собою. В такому випадку крива розбиває область U на дві частини внутрішню та зовнішню. Для внутрішніх особливих точок (як на малюнку) в таких випадках ${\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}}_{\gamma }(z_k)=1$, для зовнішніх ${\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}}_{\gamma }(z_k)=0$ і їх можна не враховувати. Тоді рівність із твердження теореми перепишеться:

${\oint }_{\gamma }f(z)\text{d}z=2\pi i\sum _{k=1}^n\mathrm{Res}(f,z_k)$

де сума береться по всіх внутрішніх особливих точках.

Доведення

Нехай F — множина особливих точок функції f, і для $z_0\in F$, функція допускає розклад у ряд Лорана в деякому проколотому диску $D(z_0,r)\mathrm{\setminus }\{z_0\}$ радіуса $r>0$ з центром у точці $z_0$ :

$f(z)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{b}_{z_0,n}(z-z_0{)}^n$

Нехай $h_{z_0}$ ряд, визначений із сингулярної частини ряду Лорана :

$h_{z_0}(z)=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{-1}{b}_{z_0,n}(z-z_0{)}^n$

Він є нормально збіжним на компактних підмножинах $U-\{z_0\}$ .

Визначимо функцію g у всій множині U як:

$g(z)=f(z)-\sum _{z_i\in F}{h}_{z_i}(z)$

Дана функція є голоморфною в усій області U і тому згідно з інтегральною теоремою Коші:

${\oint }_{\gamma }g(z)dz=0$

згідно з визначенням функції g :

${\oint }_{\gamma }f(z)dz=\sum _{z_i\in F}{\oint }_{\gamma }{h}_{z_i}(z)dz$

Зважаючи на нормальну збіжність $h_{z_i}$ можна записати :

${\oint }_{\gamma }{h}_{z_i}(z)dz=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{-1}{b}_{z_i,n}{\oint }_{\gamma }(z-z_i{)}^{n}dz$

Обчислюючи інтеграли одержуємо :

${\oint }_{\gamma }(z-z_i{)}^{n}dz=\{\begin{array}{cc}2i\pi {\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}}_{\gamma }(z_i)& n=-1\\ 0& n\ne -1\end{array}$

Об'єднавши дві попередні формули можна одержати:

${\oint }_{\gamma }f(z)dz=2i\pi \sum _{z_i\in F}{b}_{z_i,-1}{\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}}_{\gamma }(z_i)$

і згадавши визначення лишка одержуємо необхідний результат:

${\oint }_{\gamma }f(z)dz=2i\pi \sum _{z_i\in F}\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}(f,z_i){\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}}_{\gamma }(z_i)$

Див. також

• Лишок
• Інтегральна формула Коші
• Інтегральна теорема Коші
• Принцип аргументу

Посилання

• Residue theorem на сайті MathWorld
• Residue Theorem Module by John H. Mathews
• Приклади застосування

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070542341
• Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372